人教升级前看到的一道极限证明题（题目有更新）

在人教论坛升级前我在兴趣小组看到一道极限证明题，如果没记错的话，题目是这样的：

已知实数列 $a_n$ 及非负数列 $p_n$ 分别满足
\begin{gather*}
\lim_{n\to\infty}a_n = A, \\
\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n} = 0,
\end{gather*}
求证
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1p_n+a_2p_{n-1}+\cdots+a_np_1}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=A.\]

表示没证出来感觉是挺有意思的一个结论，说不准是个著名定理？（因为各 $p$ 都为 1 时也是个经典结论，这个可以看成更一般的加权情形）


_____kuing edit 1 time（见2#）_____

原来看来我记漏了一个条件，$p_n$ 要保号，否则有反例 $a_n=p_n=(-1)^{n+1}\frac1{\sqrt n}$（多谢海盗转发得到此反例），现已在一楼加上“非负”的条件。
大家继续。

貌似证明方法和这个类似的

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2012-7-27 00:07

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2012-7-27 00:07

我觉得应该这样推广吧：
如果数列 ${a_n}$ 有极限 $A$ （有限的或者无穷的），那么对于任何一个存在有限非零极限的序列 ${p_n}$，都成立
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=A
\]

我觉得应该这样推广吧：
如果数列 ${a_n}$ 有极限 $A$ （有限的或者无穷的），那么对于任何一个存在有限极限的序列 ${p_n}$，都成立
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=A
\]
都市侠影 发表于 2012-7-27 13:26

这个貌似不对吧，$a_n=p_n=\frac{(-1)^{n+1}}n$

我觉得应该这样推广吧：
如果数列 ${a_n}$ 有极限 $A$ （有限的或者无穷的），那么对于任何一个存在有限极限的序列 ${p_n}$，都成立
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n ...
都市侠影 发表于 2012-7-27 13:26

$p_n\to 0$ 要排除出去的吧？ 原来是卷积形式的，你这个是内积形式的，不太一样哦，这个能直接Stolz了吧？

5# kuing
要加个条件：$p_n$ 的极限非零

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/14112888.html?retcode=0

数学分析中的典型例题和解题方法-孙本旺
第二节，Toeplitz定理

8# 海盗船长


看到了，谢谢提供

9# kuing


路箩筐告诉我的

10# 海盗船长

原来还是他……

擦，原来我是没记错的，是那贴的楼主打少了条件
see also: http://bbs.pep.com.cn/thread-2578192-1-1.html