[不等式] 在数学空间上看到的一道数列不等式

设$b_n=\frac{2(n-1)}{n(n+1)}$

证明：当n≥2时$$b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2＜1$$

数学空间上讲的是积分放缩，问下有没有一般的方法！

哪一期上的？


PS：说一下输入细节：
上下标同时存在时用 b_2^2 这样打就行了（显示为 $b_2^2$），而不必打成 {b_2}^2（显示为 ${b_2}^2$），上下标位置会有不同。
还有就是你那个小于号还是全角的……

2# kuing


第三期 战巡的那个

怎么没人？

4# yayaweha

我没什么好想法，从他那里的$f(x)$的分部出来的式子可以直接求和得到
\[b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2=20\sum_{k=3}^n\frac1{k^2}-7+\frac{16}{(n+1)^2}+\frac{16}{1+n}\]
和式保存足够多项，余下放缩裂项理论上总是可行的，不过这样可能比较难看……

我也觉得不够清爽，所以来问

6# yayaweha
搞个链接噻，便于他人为你解析

$b[n]^2=4(n-1)^2/[n^2(n+1)^2]=4/n^2+16/(n+1)^2-16/n+16/(n+1)
\sum[b[n]^2,{n,2,∞}]=\sum[4/n^2,{n,2,∞}]+\sum[16/(n+1)^2,{n,2,∞}]-16\sum[1/n-1/(n+1),{n,2,∞}]
=4(π^2/6-1)+16(π^2/6-1-1/4)-16(1/2)
=20π^2/6-20-4-8
=10π^2/3-32≈0.8987$

8# yayaweha

战巡写的不是 latex 代码

PS、你的短消息我不知怎么回。

9# kuing


随便回，只要能问到答案就行了

8# yayaweha


这样子做没有不等式的味道