[不等式] 再问一道

$a_{n}$是方程$x^3+\frac xn=1的根$

求证：$$\left\sum_{i=1}^n\frac1{(i+1)^2{a_i}}\right＜a_n$$


_____kuing edit_____

$a_n$ 是方程 $x^3+\frac xn=1$的根

求证：$$\left(\sum_{i=1}^n\frac1{(i+1)^2{a_i}}\right)<a_n$$

\frac1/{{i+1}^2{a_i}} 这个我理解不上，猜测是如此这样子，如果哪里没写对，自己改

怎么会这样？

公式打不来可以传图，你那个写法我也很难猜到你想表达的式子，暂时编辑成现在一楼的那样子，如果哪里不一样，你自己修改下吧。

没错

4# yayaweha


呃，只是这样的话何必要两边的括号哩……
话说，没什么想法……

这个也不难嘛，因为可以给这个根一个估计
\[
1-\frac{1}{n+1}<a_n<1
\]
这个证明放在后面，有了这个，那么
\begin{align}
&\sum_{i=1}^n\frac{1}{(i+1)^2a_i} \\
<&\sum_{i=1}^n\frac{1}{(i+1)^2(1-\frac{1}{i+1})} \\
=&\sum_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)} \\
=&1-\frac{1}{n+1}
\end{align}
这样不就有
\[
\sum_{i=1}^n\frac{1}{(i+1)^2a_i}<a_n
\]
了吗。
现在来证明刚开始那个不等式，要先知道 $0<a_n<1$，因为一旦有了这个，立即就有
\[
1-\frac{a_n}{n}=a_n^3<a_n
\]
也就是
\[
1-\frac{1}{n+1}<a_n<1
\]
而 $0<a_n<1$ 这个就是显然的了，因为方程对应的函数 $f(x)=x^3+\frac{x}{n}-1$ 是增函数，而且 $f(0)<f(a_n)=0<f(1)$，所以有 $0<a_n<1$.阿弥陀佛，善哉善哉。

这个题目几乎可以直接秒了，由于$a_n(a_n^2+\dfrac{1}{n})=1$,所以我们可以得到：$a_n=\dfrac{1}{a_n^2+\dfrac{1}{n}}>\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{n}{n+1}$,注意这里用到了$0<a_n<1$,而这个由已知条件是很容易得到的，以下从略。

7# yizhong

你慢了，你楼上已经写了

昨天晚上我不知不觉睡着了，不过题目严密一点应该要加上$a_n$是实根这个条件。