[不等式] 贴道不等式题

已知$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$
求证$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\frac1{a_3}+……+\frac1{a_n}>1-\frac1{n^n}$$



求助呀！！


____kuing edit____
公式里最好不要有全角字符，省略号用 \cdots 或 \ldots，你的大于号也是全角的，应切换到纯英文的状态下输入公式。
$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\frac1{a_3}+\cdots+\frac1{a_n}>1-\frac1{n^n}$$

又是为个递推哟，可以参考这贴 http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-562-1-1.html 的解答的第四行之后的东东

最后面不一样 一个是$2^k$ 一个是$n^n$

我没说一样，只是说参考，照着试试好了
对了，你忘记给首项。

4# kuing


$a_1=2$

其实原不等式有两边，另一边就是用这个方法证那一串＜1，我觉得现在这个应该要换个递推关系证

学那边那样最后用归纳法可以么？

maybe

找到原题了


http://wenku.baidu.com/view/0f044c1ca8114431b90dd80a.html

第五题

由递推得$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$一直迭代下去就有$a_{n+1}-1=a_na_{n-1}\cdots a_1(a_1-1)$
又$a_1=2$所只需证$a_1a_2\cdots a_n ＞ n^n$

怎么用归纳法证明$a_1a_2\cdots a_n ＞ n^n$

仔细想了一下，其实也不用数学归纳法

对$a_1a_2\cdots a_n $用均值不等式$G_n＞H_n$几何平均大于调和平均再结合
$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\frac1{a_3}+……+\frac1{a_n}＜1$$
直接得到$a_1a_2\cdots a_n ＞ n^n$

这还不简单吗
假定 $a_1a_2\cdots a_k>k^k$，那么
\begin{align}
&a_1a_2\cdots a_ka_{k+1} \\
>&k^ka_{k+1}
\end{align}
所以只要证明
\[
a_{k+1}>\frac{(k+1)^{(k+1)}}{k^k}=(k+1)(1+\frac{1}{k})^k
\]
这个更容易了嘛，因为
\[
(1+\frac{1}{k})^k<3
\]

接下来要证$a_n＞3n$,这个要从$a_4$开始才成立

数学归纳

有一年的IMO SHORTLIST也出现了类似的题，而且题目条件几乎一样。

15# yizhong


用$k^{k+1}＞(k+1)^k$吗？，这个应该要另外证明，并且不是对任意的正整数，2以上才成立

16# yayaweha

取个对数搞个单调性神马的……

PS、是不是回错楼层……

13# yayaweha
$a_4$ 成立那就用 $n=4$ 做奠基步嘛，又不是非用 $n=1$ 奠基不可。