开个多项式帖子

1，正整数 $n\geqslant3$，$k$是正整数，$p_1,p_2,\ldots,p_k$ 是 $k$ 个不同的素数，求所有整数 $a$,
使得 $f(x)=x^n+ax^{n-1}+p_1p_2\ldots p_k$ 能够分解为两个次数都大于等于1的整系数多项式的乘积。
2，正整数 $m$, $n$ 都大于等于2，并且 $m$, $n$ 互质，证明：$x^{(m-1)n}+x^{(m-2)n}+\cdots+x^{2n}+x^n+1$
能够分解为 $x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+x^2+x+1$ 及另一个整系数多项式的乘积。
3，求所有正整数 $k\geqslant2$，使得多项式 $x^{2k+1}+x+1$ 能够分解为多项式 $x^k+x+1$ 与一个整系数
多项式的乘积。对每个这样的 $k$，求所有正整数 $n$，使得 $x^n+x+1$ 能够分解为多项式 $x^k+x+1$ 与另一个整系数
多项式的乘积。