[物理]来自群的物理题

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2012-7-23 17:35

水平方向只有 $v_0$ 不用看，下面考虑竖直方向，设某时刻线框因磁场力而所受阻为 $F_B$，竖直方向的速度为 $v_z$，则有
\[
F_B = \Delta BIL=\Delta B\frac ERL=\Delta B\frac{\Delta BLv_z}RL=\frac{(\Delta B)^2L^2v_z}R,
\]
而 $\Delta B =B_0+k(z+L)-(B_0+kz)=kL$，故
\[F_B = \frac{k^2L^4v_z}R,\]
即是水平方向匀速，竖直方向为阻力正比于速度的“自由”落体。由此得
\[\frac{d v_z}{dt} = g-\frac{F_B}{m}=g-\frac{k^2L^4v_z}{mR},\]
要不要解微分方程？

还是不解微分方程了，突然想起阻力正比于速度是有个关于动量的结论的，于是……

只考虑竖直方向的动量变化，用 $S_z$ 表示竖直方向上的位移，用 $S$ 表示第三问所求的位移，有
\begin{align*}
m\sqrt{v_2^2-v_0^2}&=\int_0^t{(mg-F_B)dt} \\
& =\int_0^t{\left( mg-\frac{k^2L^4v_z}R \right)dt} \\
& =mgt-\int_0^t{\frac{k^2L^4\frac{dS_z}{dt}}Rdt} \\
& =mgt-\int_0^{\sqrt{S^2-(v_0t)^2}}{\frac{k^2L^4}RdS_z} \\
& =mgt-\frac{k^2L^4}R\sqrt{S^2-(v_0t)^2}
\end{align*}
这样就可以把 $S$ 解出来……

高中的物理题不会用到微分方程吧！

顶多用到微元法，根本没用大学的东西

4# yayaweha

所以我并没有解那个微分方程啊，而是考虑动量去了，也就有了后面的解答，只不过还是用了微积分。

5# yayaweha

其实微元法可以看成是不太严格的微积分法，3#后面的过程也可以改写成微元法。