[不等式] 一个似曾相识的不等式

在不等式群看到的：$a$, $b$, $c>0$
\[\left(a^3+\frac1{b^3}-1\right)\left(b^3+\frac1{c^3}-1\right)\left(c^3+\frac1{a^3}-1\right)\leqslant\left(abc+\frac1{abc}-1\right)^3.\]

似曾相识，说不定以前证过，但一时想不起来怎么整了

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:56 分类

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kuing

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2^#

发表于 2012-7-20 22:30

方法想起来了，还是个暴力的，不满意哟，大家帮忙想个简单的。

我们不妨设 $abc=m>0$，再设 $a^3=xm/y$, $b^3=ym/z$, $c^3=zm/x$, 其中 $x$, $y$, $z>0$，那么原不等式等价于
\[\left( \frac{xm}y+\frac z{ym}-1 \right)\left( \frac{ym}z+\frac x{zm}-1 \right)\left( \frac{zm}x+\frac y{xm}-1 \right)\leqslant\left( m+\frac1m-1 \right)^3,\]
上式展开可以整理为
\[f(m)=p\left(\frac1{m^2}-2m\right)+q\left(m^2-\frac2m\right)+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}-3\geqslant0,\]
其中 $p=x/y+y/z+z/x-3$, $q=y/x+z/y+x/z-3$，显然 $p$, $q$ 要么同时是正的要么同时为 0，而同时为 0 时上式显然成立，故剩下只要考虑当 $p$, $q>0$ 时。对 $f(m)$ 求导得
\[f'(m)=\frac{2(m^3+1)(qm-p)}{m^3},\]
易见 $f(m)$ 取最小值当且仅当 $m=p/q$，即
\[f(m)\geqslant f\left(\frac pq\right) = -\frac{p^2}q-\frac{q^2}p+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}-3,\]
通过暴力因式分解，我们有
\[-\frac{p^2}q-\frac{q^2}p+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}-3 = \frac{(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)^3}{x^2y^2z^2pq}\geqslant0,\]
于是原不等式成立。