[不等式] 再来一个

$ a,b,c \geq 0, a+b+c=3 $prove that:
\[ (ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})(ab+bc+ca)\leq 16 \]

这个我证了很久都没搞定。。。技巧不足啊！

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:13 分类

Let's solution say the method!

pxchg1200

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2^#

发表于 2011-10-4 23:10

kuing 有想法么？

Let's solution say the method!

kuing

管理员

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3^#

发表于 2011-10-4 23:39

呃暂时没有

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

pxchg1200

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4^#

发表于 2011-10-5 13:08

膜拜下黄瓜同学神一般的AM-GM kills (Potla 是孟加拉语“黄瓜"的意思）

由AM-GM:
\[ \frac{(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})^{2}}{4}(ab+bc+ca)^{2}\leq \frac{1}{27}(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+(ab+bc+ca)^{2})^{3} \]
只要证：
\[ ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+(ab+bc+ca)^{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{4} \]
注意到
\[ ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+(ab+bc+ca)^{2}=(a+b+c)(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc) \]
由：
\[ a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3} \]
Done!

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