[不等式] 寻初等方法

已知f(p+q/2)≤1/2f(p)+1/2f(q)

求证      
     f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

1# yayaweha
下凸函数

2# wenshengli


我够知道啦！，我要初等证明方法

实际上这个结论是有问题的，还要加上函数连续的条件才能得到那个一般性的结论。
用数学归纳法证明当权重形如 $\frac{m}{2^n}$ 的时候不等式成立，然后再把它视为权重的连续函数，利用连续性证明。

4# 都市侠影


怎么搞呀

首先用数学归纳法证明当权重 $\lambda$具有形式 $\frac{m}{2^n}$ 的时候不等式成立，其中 $m=0,1,\ldots ,2^n$，也就是
\[
f\big(\big(1-\frac{m}{2^n}\big)a+\frac{m}{2^n}b\big)\leqslant \big(1-\frac{m}{2^n}\big)f(a)+\frac{m}{2^n}f(b)
\]
这个没有什么技术性的吧，你试试吧。
有了这个不等式之后，再来考虑证明你的结论，但是要加个条件，就是 $f(x)$ 是连续的。
定义函数
\[
h(\lambda)=f((1-\lambda)a+\lambda b)-[(1-\lambda)f(a)+\lambda f(b)]
\]
其中 $0<\lambda<1$,由于 $f(x)$ 是连续的，根据复合函数的连续性可知 $h(\lambda)$ 也是连续函数，而且根据前面所证的，有
\[
h(\frac{m}{2^n})\leqslant 0
\]
现在要说明的是，$\frac{m}{2^n}，m=0,1,\ldots ,2^n$ 这样的数是均匀分布在区间 $(0,1)$ 上的，而且随着 $n$ 的增大，它的密度也越来越大，也就是相邻两个数的距离可以任意的小，那么根据连续性的要求，势必有 $h(\lambda)\leqslant 0$，如此即证。
最后这点你也可以用严格的数学语言来写，我觉得通俗的好懂些，你先试着自己写吧。

6# 都市侠影


我看不出来哪里运用到了f(p+q/2)≤1/2f(p)+1/2f(q)

证前面那个不等式要用，你以为帽子里能跑出兔子来啊。你自己按照那个思路证一下再提问题吧。

我知道了 是在数归的过程中运用题设