关于用柯西收敛准则证明自然数平方和数列存在极限

今天群里有人讨论如何用柯西收敛准则证明数列 $a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ 存在极限。
理论上，只要是有极限，都可以用这个准则进行证明，只是有些时候比较麻烦而已。对于这里提到的数列，可以这样来证明：
\begin{align}
\begin{aligned}
a_{n+m}-a_n&=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{(n+k)^2} \\
&<\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{(n+k)(n+k-1)} \\
&=\sum_{k=1}^{m}\Big(\frac{1}{n+k-1}-\frac{1}{n+k}\Big) \\
&=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m} \\
&<\frac{1}{n}
\end{aligned}
\end{align}
如此一来，对于预先给定的任意小的正数 $\varepsilon$，只要取满足 $\frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$ 的正整数 $N$，那么在第 $N$ 项后的任意两项 $a_p$、$a_q$，有
\[
|a_p-a_q|<|(a_p-a_N)+(a_N-a_q)|\leqslant |a_p-a_N|+|a_N-a_q|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]
证毕。

网页公式怎么不显示了，一堆代码？

应该是 mathjax 抽了，你试下进 mathjax 主页看能不能打开