[数列] 来自群的一道数列不等式

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2012-7-4 18:24

当$n\geqslant2$时，由
\begin{align*}
a_1a_2\cdots a_n &= a_{n+1}-1, \\
a_1a_2\cdots a_{n-1} &= a_n-1,
\end{align*}
得
\[(a_n-1)a_n=a_{n+1}-1,\]
不难验证当$n=1$时也有$(a_1-1)a_1=a_2-1$，即上式对于任意正整数$n$都成立。显然两边不会出现$0$，故可以取倒数，有
\[(a_n-1)a_n=a_{n+1}-1\iff\frac1{(a_n-1)a_n}=\frac1{a_{n+1}-1}\iff\frac1{a_n}=\frac1{a_n-1}-\frac1{a_{n+1}-1},\]
于是
\[\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots +\frac1{a_n}=\frac1{a_1-1}-\frac1{a_{n+1}-1}=1-\frac1{a_{n+1}-1},\]
而
\[\frac12+\frac14+\frac18+\cdots +\frac1{2^n}=1-\frac1{2^n},\]
故原不等式等价于
\[a_{n+1}\geqslant 2^n+1,\]
下面用数学归纳法证之。当$n=1$时$a_{1+1}=3\geqslant 2^1+1$，不等式成立，假设当$n=k$时成立，即$a_{k+1}\geqslant 2^k+1$，则当$n=k+1$时，有
\[a_{k+1+1}=(a_{k+1}-1)a_{k+1}+1\geqslant (2^k+1-1)(2^k+1)+1=2^{2k}+2^k+1\geqslant 2^{k+1}+1,\]
即当$n=k+1$时不等式也成立，从而由数学归纳法知对任意正整数$n$都有$a_{n+1}\geqslant 2^n+1$，原不等式得证。

1# kuing
条件转化的好！牛！！！

话说这个分式型递推关系好眼熟。。

3# q85669551


显然，因为中间的是FAQ……

有点点类似08年中科大自招的那道数列题，貌似那道是a1*a2*……*an-1=1-an

那个裂项常见。。。。佩服。。。

顺带问下数学归纳法为什么一般假设$n=k $而有时是假设$n=2^k$

2^k 那种多数是在反向数学归纳法里面用吧？

8# kuing [/


这个不是很明白

呃，百度一下好了……

又是那个数列！

练习一下打字  因为$$(a_n-1)a_n=a_{n+1}-1$$
所以$$a_{n+1}-a_n=a_n^2-2a_n+1=(a_n+1)^2\ge0$$
数列$\{a_n\}$为增数列，$a_1=2$
有$$a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n+1\ge2^n+1$$

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}\le1$$
$$\Large\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}\geqslant \Large\frac{n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$$
$$a_1a_2\cdots a_n\geqslant  n^n$$
$$a_{n+1}\geqslant n^n+1$$