[Physics]磁带的转动问题。

磁带录音机的空带轴以恒定的角速度转动，重新绕上磁带。绕好后带卷的末半径$r_{末}$为初半径$r_{初}$的3倍。绕带的时间为$t_{1}$。 要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间$t_{2}$？

没看出和渐开线有什么关系。

设空带轴的半径为 $r$，磁带总长为 $L$，原磁带的厚度为 $d$，原磁带绕好后的圈数为 $n_1$，则由条件得
\[\left\{\begin{aligned}
& \pi (3r)^2-\pi r^2=Ld, \\
& n_1=\frac{3r-r}d,
\end{aligned}\right.\]
设换用厚度为原磁带一半的薄磁带后绕好时带卷的末半径为 $R$，圈数为 $n_2$，则
\[\left\{\begin{aligned}
& \pi R^2-\pi r^2=L\frac d2, \\
& n_2=\frac{R-r}{\frac d2},
\end{aligned}\right.\]
由于空带轴的角速度恒定，因此
\[\frac{t_1}{t_2}=\frac{n_1}{n_2},\]
解得
\[\left\{\begin{aligned}
& R=\sqrt5r, \\
& t_2=\bigl(\sqrt5-1\bigr)t_1.
\end{aligned}\right.\]

话说貌似没用到什么物理知识……基本上是数学题……

3# kuing

。。确实和渐开线无关。天哪，一个暑假还没过完，全忘光了。
不过Kuing列出的面积桓等式还真是没有想到。。相反，我无穷累加的思路，忽视了面积的问题，反而欠妥。
然而，书上给出的答案比你给出的结果多上个二分之一。你的计算没有问题。我正在寻找原因。

把答案打打……

5# kuing

这个就不用了。。因为不负责的书上只撂下了一个答案。于是参考答案的准确性也令人质疑。
仔细检查了几次。我觉得Kuing没错。

主要是我对我那解答其实也并没有太大信心
到底用 $\pi r_末^2 - \pi r_初^2 = Ld$ 是否合理？我一直在想这个问题，皆因磁带绕起来后是弯的，用Ld算面积似乎有误差，但这个误差到底能否忽略？