传说这是84年的一道题。。。

哈哈，大家来玩玩，思路不复杂。可能后面求导数有点难算 。可以使用各种方法，集思广益。。

如图，已知圆心为 $O$、半径为 1 的圆与直线 $l$ 相切于点 $A$，一动点 $P$ 自切点 $A$ 沿直线 $l$ 向右移动时，取弧 $AC$ 的长为 $\frac23AP$，直线 $PC$ 与直线 $AO$ 交于点 $M$。又知当 $AP=\frac34\pi$ 时，点 $P$ 的速度为 $v$，求这时点 $M$ 的速度。

怎么么看都觉得是物理题

是不是这样子：

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2012-7-1 22:58

如果这样的话，后面的计算的确有点麻烦

\[
\left\{\begin{aligned}
&v_M=x\sec\alpha,\\
&\frac{v\sin\alpha-x}{\frac23v\cos\alpha-x}=\frac{PM}{CM}=\frac{PA}{CO}=\frac34\pi,\\
&\cot\alpha=\frac34\pi-1,
\end{aligned}\right.
\]

先回了看。。反正结果是个很丑陋的数字。。

汗，打错三角函数名——“sce”应为“sec”

另一个方法是用 t 来设 P 和 C，计算出 M(t)，然后求导，不过估计计算也不会太简单。

另一个方法是用 t 来设 P 和 C，计算出 M(t)，然后求导，不过估计计算也不会太简单。
kuing 发表于 2012-7-1 23:07

我大概是这样做的。。原函数的函数图像看起来还不错。。不过求导真的很麻烦。。注 dx/dt|x=3pi/4=V


_____kuing edit in $\LaTeX$_____
\[ \left.\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right|_{x=\frac34\pi}=v \]

用软件解一下我上面的方程组，得

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2012-7-1 23:26

后面那个 vM==... 就是答案。
写好一点，就是
\[v_M = \frac{2(3\pi^2-4\pi-8)v}{(3\pi-4)^2}.\]

不过其实出题的算是好心的了，至少那个时候 $OC \perp OA$