一个数列中的不等式

群里冒出来的一个问题：
数列 $ \{x_n\}$ 定义为
\[ x_n=\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}} \]
求证有如下不等式
\[ x_{n+1}-x_n<\frac{1}{n!} \]

定义多项式序列
\[ P_2(x)=x^2-2,P_m(x)=(P_{m-1}(x))^m-m \]
那么 $x_n$ 就是多项式 $P_n(x)$ 之一根。期望研究这个多项式序列来得到这一列根的性质。
第一步，每一个多项式的根都不是唯一的，期望把根限制到某个区间上。

以下内容纯属猜测：
1. 数列 $\{x_n\}$单调增加，且极限是 $e$.

http://tieba.baidu.com/p/1677332034

贴吧那个证明我觉得太奇葩了。。求个正常点的。。