[不等式] 二元均值不等式的一个变种及其证明

昨天群里讨论到一个不等式，设$a$、$b$是两个正实数，那么成立
\[ \frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt[a+b]{a^bb^a}\]
昨天讨论时原来是用$m$、$n$来表示两个正实数的，直接导致了我当成正整数进行证明，还是符合约定俗成的好。后来经讨论，发现此不等式还可以加强
\[ \sqrt{ab}\geqslant \sqrt[a+b]{a^bb^a}\]
折腾了下，想了两种证明。

证一：欲证的不等式等价于
\[ \Big(\frac{a}{b}\Big)^{\frac{1}{2}}\geqslant \Big(\frac{a}{b}\Big)^{\frac{b}{a+b}} \]
分 $a\geqslant b$ 和 $a<b$ 稍作讨论即知其成立。

证二：只要证明
\[ \frac{\ln a+\ln b}{2}\geqslant \frac{b}{a+b}\ln a+\frac{a}{a+b}\ln b \]
于是构造一次函数 $f(t)=(1-t)\ln a+t\ln b$，其中 $0<t<1$，根据原不等式的轮换对称特征，引入假定 $a \leqslant b$，那么构造的一次函数必是单调增加的，所以有
\[ f\big(\frac{1}{2}\big) \geqslant f\Big(\frac{a}{a+b}\Big) \]
这意味着要证的不等式成立。

有点小毛病，最开始你左边写的a、b；右边写的 m、n

2# q85669551


q同学也来了

楼主应该比较喜欢用a,b但又受了原题的影响所以……

3# kuing
  sin 被毒害得深啊

这题我当时做的时候用取对数的方法

$\frac{\ln a+\ln b}{2}\geqslant \frac{b}{a+b}\ln a+\frac{a}{a+b}\ln b$
由2元加权jensen不等式得

$$\ln \frac{2ab}{a+b}\geqslant \frac{b}{a+b}\ln a+\frac{a}{a+b}\ln b$$

再根据
$\sqrt{ab}\geqslant\frac{2ab}{a+b}\

可得
$$\frac{\ln a+\ln b}{2}\geqslant\ln \frac{2ab}{a+b}\$$
所以
原不等式
$$\frac{\ln a+\ln b}{2}\geqslant \frac{b}{a+b}\ln a+\frac{a}{a+b}\ln b$$
成立

最后来一个不等式链，前半部份在KK博客看到的
\begin{align}\frac{a^2+b^2}{a+b}&\geqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\\&\geqslant\frac{a+b}2\\&\geqslant\sqrt{ab}\\&\geqslant\frac2{\frac1a+\frac1b}\geqslant\sqrt[a+b]{a^bb^a}
\end{align}

我打得不好呀