[函数] 开个帖子玩玩一个新函数

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近来对一个函数起了兴趣，开个帖子慢慢研究，为方便发帖，先占了一些楼，哈哈。
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方程$x=a^x$的唯一根$R(a)$，这里$0<a<1$，如此得到一个新的函数$R(a),0<a<1$，现在的任务就是研究这个函数的性质。

性质1：函数$R(a)$在定义区间上连续并可导，导函数
\[
R'(a)=\frac{R^2(a)}{a(1-R(a)\ln a)}
\]
性质2：两个端点处的极限
\[
\lim_{a\to1^-}R(a)=1,\lim_{a\to0^+}R(a)=0
\]
性质3 ……

性质1的证明：函数$R(a)$实际上是由二元方程$F(a,x)=x-a^x=0$所定义的隐函数，根据隐函数理论即可得此结论。

性质2的讨论
设$0<a<1$，定义一个函数序列：
\[
R_0(a)=1,R_{n+1}(a)=a^{R_n(a)}
\]
我的新函数与这个函数序列有着血浓于水的关系，剪不断，理还乱

引理1 对任意正整数$n$，成立不等式 $R_{2n-1}(a)<R(a)<R_{2n}(a)$

证明：还是用归纳法简单些，因为方程$x=a^x$左边的正比例函数在$x\leqslant0$时值非正，右边的指数函数恒正，所以作为方程根的$R(a)$必然为正值，所以$R(a)>0$，从而$R(a)=a^{R(a)}<a^0=1$，继续下去$R(a)=a^{R(a)}>a^1=a=R_1(a)$，$R(a)=a^{R(a)}<a^{R_1(a)}=R_2(a)$，所以不等式在$n=1$时就成立了，后面的假设递推仍是此法，偷个懒，略去不写了。

引理2：对刚定义的函数序列有
\[
\lim_{n\to0^+}R_{2n-1}(a)=0,\lim_{n\to0^+}R_{2n}(a)=1,\lim_{n\to1^-}R_{n}(a)=1
\]

证明：

引理3：这函数序列收敛到$R(a)$，即是说
\[
\lim_{n\to\infty}R_n(a)=R(a)
\]

证明：

性质3

性质4

性质5

性质6

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都市侠影 发表于 2012-6-20 13:10

哎，可惜冷清，没能力搞起来。正如你上次说的，有XX的不YY，有ZZ的没WW（原句记不清了，大致这样写你应该知道我指哪句吧 ）