[不等式] 征集一个对数不等式的证明

对一切正整数$n$成立不等式
\[
1<\Big(n+\frac{1}{2}\Big)\ln{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)}<1+\frac{1}{12n(n+1)}
\]

没什么特别方法，还是求导，楼主可能不满意，据我了解楼主喜欢初等证明，不过对于我来说我已经满意了。

令 $x=\frac1n\in(0,1]$，不等式等价于
\[\frac{2x}{x+2}<\ln(x+1)<\frac{x(x^2+12 x+12)}{6 (x+1) (x+2)},\]
令
\begin{align*}
f(x)&=\ln(x+1)-\frac{2x}{x+2},\\
g(x)&=\frac{x(x^2+12 x+12)}{6 (x+1) (x+2)}-\ln(x+1),
\end{align*}
其中 $x\in(0,1]$。则
\begin{align*}
f'(x)&=\frac{x^2}{(x+1) (x+2)^2}>0,\\
g'(x)&=\frac{x^4}{6 (x+1)^2 (x+2)^2}>0,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
f(x)&>\lim_{x\to0^+}f(x)=0,\\
g(x)&>\lim_{x\to0^+}g(x)=0,
\end{align*}
即原不等式得证。

恩，这个不等式有点太强了，除了求导，就只能是泰勒展开了，汗……