[几何] 请教KK

有什么简便方法

已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a>b>0$），$O$ 为坐标原点，$P$、$Q$、$R$ 为椭圆上三动点，且 $OP$、$OR$、$OQ$ 两两的夹角相等，求 $1/\abs{OP}^2+1/\abs{OQ}^2+1/\abs{OR}^2$ 的值。

大概还是用 $P(r_1\cos t, r_1\sin t)$，$Q\bigl(r_2\cos(t+120^\circ), r_2\sin(t+120^\circ)\bigr)$，$R\bigl(r_3\cos(t+240^\circ), r_3\sin(t+240^\circ)\bigr)$ 这种代换？

用参数方程接下来怎么算

2# 并不是参数方程……
人教论坛上好像有类似讨论，我先吃饭。

这很像参数方程

将所设代入椭圆方程中求得
\begin{align*}
\frac1{|OP|^2}&=\frac1{r_1^2}=\frac{\cos^2t}{a^2}+\frac{\sin^2t}{b^2},\\
\frac1{|OQ|^2}&=\frac1{r_2^2}=\frac{\cos^2(t+120^\circ)}{a^2}+\frac{\sin^2(t+120^\circ)}{b^2},\\
\frac1{|OR|^2}&=\frac1{r_3^2}=\frac{\cos^2(t+240^\circ)}{a^2}+\frac{\sin^2(t+240^\circ)}{b^2},
\end{align*}
相加得
\begin{align*}
\frac1{|OP|^2}+\frac1{|OQ|^2}+\frac1{|OR|^2} ={}& \frac{\cos^2t+\cos^2(t+120^\circ)+\cos^2(t+240^\circ)}{a^2}\\
&+\frac{\sin^2t+\sin^2(t+120^\circ)+\sin^2(t+240^\circ)}{b^2},
\end{align*}
熟知有恒等式
\[\cos^2t+\cos^2(t+120^\circ)+\cos^2(t+240^\circ) = \sin^2t+\sin^2(t+120^\circ)+\sin^2(t+240^\circ) = \frac32,\]
所以
\[\frac1{|OP|^2}+\frac1{|OQ|^2}+\frac1{|OR|^2} = \frac32\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right).\]


关键还是那个恒等式，故此如无意外下是可以推广的。

6# kuing


不知道这个恒等式怎么办，那要手算怎么算？

是极坐标，高中选修有