教师-郝酒(3653*****) 23:16:47
有 $n$ 个人，1 至 n 编号，按编号从小到大进电影院。电影院有 $n$ 把椅子，也用 1 至 n 编号。
第 1 个人随便坐；从第 2 个人开始如果自己的座位空着则必须坐在自己座位上，如果自己的座位被前面的人占了则自己可以随便坐。
问最后一个人能坐在自己座位上的概率是多少？
解：设 $n$（$n\geqslant 2$）个人时所求概率为 $P(n)$。当 $n=2$ 时，显然最后一个人坐正确的概率是 $P(2)=1/2$，下设 $n\geqslant 3$。
如果 1 号人坐自己的 1 号位，所有人都将坐正确，这件事发生的概率是 $1/n$；
如果 1 号人不坐自己的位置，则分 $n-1$ 种情况讨论。
（1）如果 1 号人坐了 2 号位。
此时即是 2, 3, 4, ..., n 号人面对着 1, 3, 4, ..., n 号位置，由 2 号人开始并且是随便坐的。
而这相当于 2, 3, 4, ..., n 号人面对着 2, 3, 4, ..., n 号位置，并且第 1 个人（即 2 号人）随便坐一样，这是因为对于 3, 4, ..., n 号人来说，那张不是他们的椅子的编号是 1 或 2 对于他们来说是没分别的，而对于 2 号人来说则无论那张椅子的编号是 1 或 2，只要他坐上去，那么其余的人都将坐正确。
因此，此时相当于 $n-1$ 个人进电影院的情形，即此时最后一个人坐在自己位置上的概率是 $P(n-1)$；
（2）如果 1 号人坐了 3 号位。
此时 2 号人要坐 2 号位，剩下即是 3, 4, 5, ..., n 号人面对着 1, 4, 5, ..., n 号位置，由 3 号人开始并且是随便坐的。
与（1）一样，这也相当于 $n-2$ 个人进电影院的情形，即此时最后一个人坐在自己位置上的概率是 $P(n-2)$；
（3）……
……
（$n-2$）如果 1 号人坐了 n-1 号位。
此时 2~n-2 号人均坐自己的位置，剩下 n-1 和 n 号人面对着 1 和 n 号位置，由 n-1 号人开始并且是随便坐的。相当于 2 个人进电影院的情形，即此时最后一个人坐在自己位置上的概率是 $P(2)$；
（$n-1$）如果 1 号人坐了 n 号位。则无论怎么坐最后那位也坐错，即此时最后一个人坐在自己位置上的概率是 0。
综上所述，对于 $n\geqslant 3$ 时，我们有
\[P(n)=\frac1n+\frac1n P(n-1)+\frac1n P(n-2) + \cdots + \frac1n P(2),\]
上式变形有
\begin{align*}
n\cdot P(n)&=1+ P(n-1)+P(n-2) + \cdots + P(2),\\
(n+1)\cdot P(n+1) &=1+P(n)+ P(n-1) + \cdots + P(2),
\end{align*}
相减得到
\[P(n+1)=P(n),\]
不难验证$P(3)=P(2)=1/2$，所以对于任意 $n\geqslant 2$ 都有
\[P(n)=\frac12,\]
即无论人数多少，最后的人能坐在自己座位上的概率总是 $1/2$。
这个题由我想通了到表达成上述过程，至少用了一个多小时，真的很难表达，现在这样说不知你们能不能看懂？关键在于理解那个“相当于”。
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发表于 2012-6-17 02:43
发表于 2012-7-22 14:18