[不等式] 来自pep的几道简单最小值题

原贴链接：http://bbs.pep.com.cn/thread-2558631-1-1.html

一楼楼主：

求不等式的最小值（应该属于竞赛级别的吧）

1.设x,y,z>0,且满足xy+yz+zx=1。求21(x^2+y^2)+z^2的最小值。

2.设x,y,z>0,且满足xy+yz+zx=1。求3x^2+24y^2+z^2的最小值。

3.设实数a,b,c,d 满足ab+bc+cd+da=1。求5x^2+4y^2+5z^2+t^2的最小值。

4.设x,y,z>0,且满足x+y+z=14。求x^2+y^2+z^3的最小值。



三楼我回复：
1、6
\begin{align*}
21(x^2+y^2)+z^2 & = 21(x^2+y^2)+\left( \frac{1-xy}{x+y} \right)^2 \\
& \geqslant \frac{21}2(x+y)^2+\left( \frac{1-\frac{(x+y)^2}4}{x+y} \right)^2 \\
& =\frac{169(x+y)^2}{16}+\frac1{(x+y)^2}-\frac12 \\
& \geqslant 2\sqrt{\frac{169}{16}}-\frac12 \\
& =6
\end{align*}
当$x=y=\frac1{\sqrt{13}}$, $z=\frac6{\sqrt{13}}$时取等；

2、涉及三次方程；

3、字母打错了，后面如果改成$5a^2+4b^2+5c^2+d^2$的话就是$2\sqrt2$
\begin{align*}
5a^2+4b^2+5c^2+d^2 &= 5(a^2+c^2)+\frac45\left( \frac14+1 \right)(4b^2+d^2) \\
& \geqslant \frac52(a+c)^2+\frac45(b+d)^2 \\
& \geqslant 2\sqrt{2(a+c)(b+d)} \\
& =2\sqrt{2(ab+bc+cd+da)} \\
& =2\sqrt2
\end{align*}
当$a=c=\frac1{\sqrt[4]{50}}$, $b=\frac1{\sqrt[4]{200}}$, $d=\sqrt[4]{\frac{32}{25}}$时取等；

4、80
\begin{align*}
x^2+y^2+z^3 &\geqslant \frac12(x+y)^2+z^3 \\
& =\frac12(14-z)^2+z^3 \\
& =\frac12(z-2)^2(9+2z)+80 \\
& \geqslant 80
\end{align*}
当$x=y=6$, $z=2$时取等。