[不等式] 一个不等式证明题

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2012-6-11 02:06

是我们班一个同学自己写的题目...

左 $<\ln3<$ 右

不过证 $<\ln3$ 的话还是涉及点高等的东西，故此可以改用柯西证 左 $<\dfrac2{\sqrt3}<\dfrac43<$ 右

总之这题很……

2# kuing
很什么啊？。。。额...他自己说的解法是“前面分母放缩成n+1，后面放缩成等比数列”“前面小于2n/n+1，后面每项换成2的N次项”“就是把2（n-1）小于2的（n-1）次”

2# kuing
很什么啊？。。。
╰☆ヾo.海x 发表于 2012-6-17 00:19

我上面的回贴表明这个不等式能在中间很容易找到常数将两边分界，而且其实两边不是一个数量级的（左边收敛右边发散），不等式很松，可以尽情放缩，这样一来通常就没什么难度可言了。

现在市面上像这种两边都含n的数列不等式很多都是两边都发散，所以无法像上面那样找到常数去分开两边，或者两边收敛也常常收敛到同一个常数，所以不是那么容易放缩，稍不小心就放过头了

2# kuing


用柯西怎么证？ 再问下用定积分放缩可否？

6# yayaweha

\begin{align*}
\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n}\right)^2&<(1+1+\cdots+1)\left(\frac1{(n+1)^2}+\frac1{(n+2)^2}+\cdots+\frac1{(3n)^2}\right)\\
&<(1+1+\cdots+1)\left(\frac1{n(n+1)}+\frac1{(n+1)(n+2)}+\cdots+\frac1{(3n-1)(3n)}\right)\\
&=2n\left(\frac1n-\frac1{3n}\right)\\
&=\frac43.
\end{align*}

6# yayaweha

\begin{align*}
\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n}\right)^2&
kuing 发表于 2012-6-17 10:41

这边用定积分也行吧
ln3n-lnn=ln3

7# kuing


KK着用定积分放缩就是ln3n-lnn=ln3  但是右边呢？

嗯，积分是可以的
但估计楼主不一定懂
柯西应该好接受些

9# yayaweha


右边这么大，不用搞什么放缩啦

我是看了数学空间3学到的

怎么看不等式强弱

右边只要前两项就已经大于左边了，后面的完全可以不要，而且不要的那些其实还是发散的东西，所以这个不等式很弱……

我问的不是这题 是一般怎么看

那就具体情况具体分析了，我不擅长总结这样的东西。

用数学归纳法吧，$n=2$是明显成立的吧，假定
\[
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{3n}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2(n-1)}
\]
那么在$n$换为$n+1$时，左边增加的量是
\[
\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}
\]
右边增加的量是
\[
\frac{1}{2n}
\]
所以只要证明左边的增加量小于右边的增加量就可以了
\[
\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{2n}
\]
证明如下：
\begin{align}
\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}&<\frac{3}{3n+1}-\frac{1}{n+1} \\
&=\frac{2}{(n+1)(3n+1)} \\
&<\frac{2}{2\sqrt{n}\cdot 2\sqrt{3n}} \\
&=\frac{1}{2\sqrt{3}n} \\
&<\frac{1}{2n}
\end{align}
证毕。

13# yayaweha
所谓不等式的强弱，是指你证出来的不等式与要证的不等式相比，谁是谁的充分条件。
一般而言，你证出来的不等式必须是要证不等式的充分条件，这样证明才能成功，这时你证出来的不等式就是更强的不等式。
举个例，证明不等式
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2
\]
显然你放缩得出来的是
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n}
\]
那么自然是你证出来的是更强的不等式。

求证：$ \displaystyle \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2(n-1)} $

证明：分类讨论
(1)当$n=2$时，
左边 $ \displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}<1 $
右边 $ \displaystyle =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1 $
$\therefore$ 左边<右边

(2)当$n=3$时，
左边 $ \displaystyle = \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}<\frac{1}{4}\times 6=\frac{3}{2} $
右边 $ \displaystyle = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4} $
$\therefore$ 左边<右边

(3)当$n=4$时，
左边 $ \displaystyle = \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}<\frac{1}{5}\times 8=\frac{8}{5} $
右边 $ \displaystyle = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{23}{12} $
$\therefore$ 左边<右边

(4)当$ n\geqslant 5$时，
左边 $ \displaystyle = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{3n}< \frac{1}{n+1}\times 2n = \frac{2(n+1)-2}{n+1} = 2 - \frac{2}{n+1} < 2 $
右边 $ \displaystyle = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2(n-1)} \geqslant  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{49}{24}>2 $
$\therefore$ 左边<右边

综上所述，左边<右边