十六、上海理数14

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2012-8-31 16:21

分别过 $B$, $C$ 作 $AD$ 的垂线，由于 $AD\perp BC$，所以两垂线的垂足共点，设其为 $E$。
这里明显有 $EB=EC$，若不等，假设 $EB<EC$，则由勾股定理得 $AB<AC$, $BD<CD$，这与 $AB+BD=AC+CD$ 矛盾。
由此，设 $EB=EC=x$，则易证 $1<x\leqslant \sqrt{a^2-c^2}$，以及 $S_{\triangle EBC}=\sqrt{x^2-1}$，从而
\[V_{ABCD} = \frac{2c}3\sqrt{x^2-1}\leqslant \frac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}.\]

这题越写越发现没玩头，早知道不选了，不过图都截了也写了大半了，算了哎……

十七、四川10 and 12（文/理）

10（文/理）

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2012-8-31 16:23

由球面直角三角形的某条公式得
\[ \cos\frac{AP}R = \cos60^\circ \cos45^\circ = \frac{\sqrt2}4, \]
故A。

理12

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2012-8-31 16:23

令
\[ g(x) = f \left( x+\frac\pi2 \right) - \pi = 2x+\sin x, \]
则已知等式化为
\[g\left(a_1-\frac\pi2\right)+g\left(a_2-\frac\pi2\right)+\cdots+g\left(a_5-\frac\pi2\right)=0.\]
我们将证明 $a_3=\pi/2$。若不然，假设 $a_3>\pi/2$，那么
\[a_3-\frac\pi2>0,   a_1-\frac\pi2+a_5-\frac\pi2=a_2-\frac\pi2+a_4-\frac\pi2=2a_3-\pi>0,\]
注意到 $g(x)$ 为递增的奇函数，熟知有 $g(x)+g(y)>0 \iff x+y>0$，从而得到
\[g\left(a_3-\frac\pi2\right)>0,   g\left(a_1-\frac\pi2\right)+g\left(a_5-\frac\pi2\right)>0,   g\left(a_2-\frac\pi2\right)+g\left(a_4-\frac\pi2\right)>0,\]
矛盾！
同理可证假设 $a_3<\pi/2$ 时将产生矛盾，故此必有 $a_3=\pi/2$。
从而 $\bigl(f(a_3)\bigr)^2-a_1a_5=\pi^2-(\pi/2+\pi/4)(\pi/2-\pi/4)=13\pi^2/16$。

文12

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2012-8-31 16:23

与理12类似，略。


______________________
理12及解答已被我选入《数学空间》总第9期的《对2012年的几道高考数学题的解答及研究》一文中。

十八、四川文数16

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2012-8-31 16:24

①对，反证一下，假设 $a-b\geqslant 1$，则 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)\geqslant a+b>a-b\geqslant 1$，矛盾。

②错，反例取 $a=2$, $b=2/3$；

③错，事实上，不等式反向成立，即当 $\bigl|\sqrt a - \sqrt b\bigr|=1$ 时有 $|a-b|>1$，我们也用反证法证一下。
假设 $|a-b|\leqslant 1$，则
\[\bigl|\sqrt a - \sqrt b\bigr|=\frac{|a-b|}{\sqrt a+\sqrt b}\leqslant \frac1{\sqrt a+\sqrt b} < \frac1{\bigl|\sqrt a - \sqrt b\bigr|},\]
从而得到 $\bigl|\sqrt a - \sqrt b\bigr|<1$，矛盾；

④对，由 $1=|a^3-b^3|=|a-b|(a^2+ab+b^2)>|a-b|(a^2-2ab+b^2)=|a-b|^3$ 即得 $|a-b|<1$。

十九、四川理数16

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2012-8-31 16:25

这题真不是好对付的。

①对，直接列出来即知正确，事实上，后面的都是 2；

②错，当 $a=3$ 时 $\{x_n\}$ 为 $\{3,2,1,2,1,2,1,\ldots\}$ 后面一直是 2, 1 循环；

③对，由于对任意整数 $n$，容易证明恒有
\[ \left[ \frac n2 \right]\geqslant \frac{n-1}2,\]
又显然 $x_n+[a/x_n]$ 为整数，于是，由 $[x]>x-1$ 以及均值不等式，我们有
\[ x_{n+1}=\left[ \frac{x_n+\left[\frac a{x_n}\right]}2 \right]\geqslant \frac{x_n+\left[\frac a{x_n}\right]-1}2 > \frac{x_n+\frac a{x_n}-2}2\geqslant \sqrt a-1. \]
所以命题成立；

④对，我们先来证明 $x_n\geqslant \bigl[\sqrt a\bigr]$ 恒成立，若不然，假设存在某个 $x_k<\bigl[\sqrt a\bigr]$，由于 $x_k$ 和 $\bigl[\sqrt a\bigr]$ 均为整数，因此有
\[ x_k\leqslant \bigl[\sqrt a\bigr]-1\leqslant \sqrt a-1, \]
这与③的结论矛盾，从而必有 $x_n\geqslant \bigl[\sqrt a\bigr]$ 恒成立。
接下来证明当 $x_{k+1}\geqslant x_k$ 时必有 $x_k\leqslant \bigl[\sqrt a\bigr]$，若不然，假设 $x_k>\bigl[\sqrt a\bigr]$，由于 $x_k$ 和 $\bigl[\sqrt a\bigr]$ 均为整数，因此有
\[ x_k\geqslant \bigl[\sqrt a\bigr]+1 > \sqrt a, \]
而
\[ x_{k+1}=\left[ \frac{x_k+\left[\frac a{x_k}\right]}2 \right]\leqslant \frac{x_k+\left[\frac a{x_k}\right]}2 \leqslant \frac{x_k+\frac a{x_k}}2, \]
于是有
\[ 2(x_{k+1}-x_k)\leqslant \frac a{x_k}-x_k = \frac{a-x_k^2}{x_k} < 0, \]
矛盾，所以当 $x_{k+1}\geqslant x_k$ 时必有 $x_k\leqslant \bigl[\sqrt a\bigr]$，再由 $x_n\geqslant \bigl[\sqrt a\bigr]$ 恒成立，我们便得到 $x_k=\bigl[\sqrt a\bigr]$。


______________________
本题及解答已被我选入《数学空间》总第9期的《对2012年的几道高考数学题的解答及研究》一文中。

thank kuing的解答，学习了
弱弱的问一下，江西省理数第10题怎么理解体积的导数就是截面面积呀

thank kuing的解答，学习了
弱弱的问一下，江西省理数第10题怎么理解体积的导数就是截面面积呀
blownant 发表于 2012-6-10 13:12

通俗说是 $\Delta V \approx S \Delta x$
用数学语言来说是 $\Delta V = S \Delta x + o(\Delta x)  (\Delta x \to 0)$

四、山东理数12



依题意知关于 $x$ 的多项式
\[ h(x) = ax^3+bx^2-1 \]
有二重根，不妨设二重根为 $x_1$，另 ...
kuing 发表于 2012-6-7 23:57

此题，我有一解，您看充分不，可以再加以改善不？

图象虽然是显然的，而且在实际考试中也很好用，不过总是欠缺一点严格，所以对于我这种远离考试者来说，还是喜欢我上面的代数解法，况且也并不麻烦，而且还得到了两根的具体表达式。


PS、本论坛可以直接上传图片，也不会被缩小，故不必在别的地方链接图片过来，外链图片很容易因过期之类的原因而丢失。

顶！！！

更正了一下7#
被网友提醒，应为 $V ' (x) = -S(x)$，原先漏掉了负号。

通俗说是 $\Delta V \approx S \Delta x$
用数学语言来说是 $\Delta V = S \Delta x + o(\Delta x)  (\Delta x \to 0)$
kuing 发表于 2012-6-10 13:39

更正一下，由于计算的是下面部分的体积，而 $x$ 是自上而下的，所以两个 $\Delta$ 是反号的，所以应该是
$\Delta V \approx -S \Delta x$
或
$\Delta V = -S \Delta x + o(\Delta x)  (\Delta x \to 0)$

每年高考结束都会关注kuing的play-play，希望将来kuing可以出本书！
安徽理数10：本质应该是 k6完全图去两条边！

江西理科7: 矩形ABCD有性质：OA^2+OC^2=OB^2+OD^2(O为平面内任意点)，补成矩形即可！

四川卷那两个12.  两个函数都是中心对称的，对称中心分别为（3,2）和（π/2,π）

每年高考结束都会关注kuing的play-play，希望将来kuing可以出本书！
安徽理数10：本质应该是 k6完全图去两条边！

江西理科7: 矩形ABCD有性质：OA^2+OC^2=OB^2+OD^2(O为平面内任意点)，补成矩形即可！

四川卷那两个12.  两个函数都是中心对称的，对称中心分别为（3,2）和（π/2,π）
XDZM 发表于 2012-6-13 18:06

出书？我写作水平太差了，不太可能出得了书，自己编着玩倒是可以，出版社估计不会鸟我的。

那个图论不懂，

那个矩形那个，“平面内”可以去掉的，我在数学空间也用过这性质（第4期P10引理2.2.1）

那个就是因为是中心对称所以才去构造那个g(x)。

续楼上：还要单调

24# kuing


我是被这个题彻底打败了。。考试的时候绝对做不出来，可能还影响后面的心情。。命题2 我想直接搞一般形式证明发散失败，取个特殊值不太恰当，总成了收敛的。。。

KK请教11楼那题

你怎么想的，把$a_{n+1}$带进去，再来4项一起求和

因为这样就会没了(-1)^k，求和方便，而且60被4整除

38# kuing


60也可被2， 6整除

消$(-1)^k$应该不止一种方法，能不能直接令$n=2k $或$4k$消