[几何] 不等式群看到的一道三角题，看上去似乎容易但玩起来还真……

RT，在不等式群看到的一道三角题，看上去似乎容易但玩起来还真不太好解决。

废话少说，先贴题：

辽宁沈阳李明(8753*****)  17:44:55
甘志国老师给我发了一个邮件，要我帮忙求解一个问题！谁能帮算一下？问题如下
请教您一个问题：已知外接圆半径为6的三角形有两边之和为16，求该三角形面积的最大值？

先是有四川蒋淋富用爪机回复如下：

四川蒋淋富(5066*****)  18:55:26
理论上可用xyz=4RS,于是可以设三边分别为x,y,z,x+y=16,R=6，以及面积公式16S^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^4-y^4-z^4不难求出z,进而得到面积S=xyz/(4R)得到关于xy的涵数…后面就是求导的事情了

我还没照着试算，具体麻烦程度要看后面得到的那函数到底有多复杂了，有空试试。

后来浙江朱世杰也贴了一个解法，应该是挺正宗的，但我完全没心思看下去。

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2012-5-19 23:40

而我目前的解法并没有简单到哪去。

解  不妨设$a+b=16$，则由正弦定理及$R=6$得
\[\sin A+\sin B=\frac43,\]
那么
\begin{align*}
S&=2R^2\sin A\sin B\sin C \\
& =72\sin A\sin B(\sin A\cos B+\cos A\sin B) \\
& \leqslant 72\sin A\sin B\bigl(\sin A\sqrt{1-\sin^2B}+\sqrt{1-\sin^2A}\sin B\bigr),
\end{align*}
为方便书写，下面记$x=\sin A$, $y=\sin B$，那么上面得到的结果即为$x$, $y\in (0,1]$, $x+y=4/3$, 且
\[S\leqslant 72xy\bigl(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\bigr),\]
到这里想来想去没什么好办法，暂时用切线法先，我们将证明在上述条件下有
\[xy^2\sqrt{1-x^2}\leqslant \frac{4 (28-27 x)}{81 \sqrt5},\]
这里我也没心思想巧妙的证明，消$y$再求导应该也可以，但计算量应该也少不到哪去，故此我还是直接平方作差分解算了，由条件知上式等价于
\[x^2\left(\frac43-x\right)^4(1-x^2)\leqslant \frac{16 (28-27 x)^2}{32805},\]
作差分解等价于
\[\frac{(3 x-2)^2 \Bigl(\bigl(3645 x^4+(7290x^2+11340x+1890) (1-x) x^2+1080\bigr) (x-1)^2+150 (1-x)+16\Bigr)}{32805}\geqslant0,\]
显然成立，故
\[S\leqslant 72xy\bigl(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\bigr)\leqslant 72\left(\frac{4 (28-27 x)}{81 \sqrt5}+\frac{4 (28-27 y)}{81 \sqrt5}\right)=\frac{128 \sqrt5}9,\]
当$A=B=\arcsin(2/3)$时$S=128 \sqrt5/9$。

与朱的结果有所不同？
但朱的最后取等条件好像跟我的是一样的，可能是他计算错了。

恩，/9

\[x\left(\frac43-x\right)^2\sqrt{1-x^2}\]
这个在(0,1]上先上凸后下凸再上凸……没办法直接Jensen，除非分类，但还是比较麻烦

修改了个错误

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2012-5-20 17:33

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2012-5-20 17:33

oh
我还是没心思细看，呵呵
PS、链接我就懒得发到群里了，因为现在论坛被设置成禁止游客浏览，而多数人看到要注册的时候直接就走人，尽管注册也就十来秒。

咦，刚才再试了一下游客状态，好像解除了…… 那就好了

还是软件牛，我拿朱得到的关于C的函数用软件求导化简一下，本来只是想验证下结果是不是一样，没想到一化简时竟然得到下面这个如此简单的结果
\[S_C' = -9 \cos C+9 \cos2C+8 \sec^2\frac C2\]
再分解一下，亦可得
\[S_C' = \frac14(-9 \cos C+9 \cos2C+9 \cos3C+23) \sec^2\frac C2\]
不知它是怎么搞出来的，反正我一时也没看出来。
这样，照朱的思路，要证$S_C' > 0$，就只要证$-9 \cos C+9 \cos2C+9 \cos3C+23 > 0$，这时我就要人工一下了，利用二、三倍角公式，记$t=\cos C$，则
\[-9 \cos C+9 \cos2C+9 \cos3C+23 = 4 t (3 t-1)^2 + 10 (2 t - 1)^2 + 2 t^2 + 4>4>0.\\ （这里错了，见10楼，修正版见11楼）\]
嘿嘿

原来用一下半角公式就能很简单，注意到
\[\frac{16-9\sin^2C}{1+\cos C}\sin C = (16-9\sin^2C)\tan\frac C2 = \frac12(23+9\cos 2C)\tan\frac C2,\]
故求导便是
\[\frac{23+9\cos 2C}{4\cos^2\frac C2}-9\sin 2C\tan\frac C2,\]
通分为
\[\frac{23+9\cos 2C-18\sin 2C\sin C}{4\cos^2\frac C2},\]
此时如果分子用一下积化和差公式，就能得到上楼分解后的式子了。当然了，到这里其实用上楼的思路的话也不必积化和差了，分子直接化为
\[23+9(2\cos^2C-1)-36(1-\cos^2C)\cos C,\]
然后就可以用上楼的配方了，这样还省回了用三倍角公式。

可见先化简再求导真能省啊

这样配方还不能说明》4成立，因为t=cosC可能为负，C可能是钝角

10# realnumber


噢对，那我再配一下吧
\[-9 \cos C+9 \cos2C+9 \cos3C+23 = 4 (t + 1) (3 t-1)^2 + 2 (1 - t) (5 - 3 t)>0\]
其中$t=\cos C\in (-1,1)$

确实这样做是简单多了，我那个凑成，总觉得运气好

就这么熟练了，kk水平传授下提高水平的经验，

我想求$C$最大估计也可以简单些，因为我二楼得到了$\sin A+\sin B=4/3$，用这个求$C$最大应该是easy的，但三角变换我不是很熟，你试试吧。
我的想法至少可以用反三角做和琴生做，由于如果$A$是钝角，那么将其变为 $\pi-A$ 时也满足上式而$C$变大，所以要求$C$的最大值只要考虑当$A$, $B$都不是钝角的情形。
此时有$A=\arcsin(\sin A)$, $B=\arcsin(\sin B)$，而$\arcsin x$在$x\in(0,1)$为下凸函数，所以
\[C=\pi-A-B=\pi-\arcsin(\sin A)-\arcsin(\sin B)\leqslant \pi-2\arcsin\left(\frac{\sin A+\sin B}2\right)=\pi-2\arcsin\frac23.\]
结果一样。

和差化积是不是可以？
\[\frac43=\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\leqslant 2\cos\frac C2 \implies C\leqslant 2\arccos\frac23,\]
汗，看来我转晕了……

13# realnumber


没有了，如果熟练的话，也不会刚才才发现先用半角公式化简，也不会像楼上上那样竟然忘了用和差化积……

一般情况：外接圆半径$R$，两边$a+b=L<4R$，其中$L$, $R$为定值，则面积的最大值如何？

已经得到的结果是当
\[L\geqslant \sqrt{\frac{70}{27}+\frac{26\sqrt{13}}{27}}\cdot R\]
时$S_C'\geqslant0$，其中$\sqrt{\frac{70}{27}+\frac{26\sqrt{13}}{27}}\approx 2.46264186$，一楼的题目中$L/R=16/6=2.666...$大于此值，所以$S_C'>0$

顺便说下$C$的取值范围
当$L<2R$，则
\[C\in \left( 0,\arcsin \frac{L}{2R} \right)\cup \left( \pi -\arcsin \frac{L}{2R},2\arccos \frac{L}{4R} \right];\]
当$4R>L\geqslant 2R$，则
\[C\in \left( 0,2\arccos \frac{L}{4R} \right].\]

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2012-5-24 14:34

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2012-5-24 15:20