[不等式] 不等式马拉松(inequalites marathon)

Hi,我觉得来个不等式马拉松会很好玩。游戏规则如下：
如果您能解出前面的人出的题，那么您将赢得下一题的出题权，您可以出任何初等不等式的题目。以此往下。
我先开个头，来个简单的：
problem 1
设$ x,y,z>0 ,x+y+z=1 $,证明:
\[ \frac{1}{\sqrt{x+y}}+ \frac{1}{\sqrt{y+z}}+ \frac{1}{\sqrt{z+x}}\leq \frac{1}{\sqrt{2xyz}} \]

Have fun!

:o，只能先顶一下。。。有空再接力:D

kuing 怎么不秒杀来着？

3# pxchg1200


因为我没题供下去……

1# pxchg1200
均值定理就可以
过程免了吧
problem2:
已知 $a,b\in R^+$，且$\dfrac1a+\dfrac1b=1$，证明 $\forall n\in N$
$$(a+b)^n-a^n-b^n\ge 2^{2n}-2^{n+1}.$$

4# kuing

没题？那一堆呢？

6# 图图


不是自己的不算。。。

7# kuing


...那里的题几乎都是你给我的啊

8# 图图


问题是不是我提出的，基本上都是看论坛看到的或者由某些问题遇到的需要解决的问题。。。

PS，版聊了。。。

留位置给大家做题吧

5# wenshengli
均值定理也可以搞定

几乎忘了还有这个贴的存在……

1# pxchg1200
我贴一个：
在$\triangle ABC$中，证明：$$\pi (\frac1 A+\frac1 B+\frac1 C)\geqslant (\sin\frac A 2+\sin \frac B 2+\sin \frac C 2) (\frac1{\sin\frac A 2}+\frac1{\sin  \frac B 2}+\frac1{\sin\frac C 2})$$

12# reny

Δ -> \triangle
sin -> \sin

1# pxchg1200
我贴一个：
在$△ABC$中，证明：$$\pi (\frac1 A+\frac1 B+\frac1 C)\geqslant (sin\frac A 2+sin \frac B 2+sin \frac C 2) (\frac1{sin\frac A 2}+\frac1{sin  \frac B 2}+\frac1{sin\frac C 2}) ...
reny 发表于 2013-4-1 23:26

在$\triangle {ABC}$中，证明：\[\pi (\frac1 A+\frac1 B+\frac1 C)\geqslant (\sin\frac A2+\sin\frac B2+\sin\frac C 2) (\frac1{\sin\frac A2}+\frac1{\sin\frac B2}+\frac1{\sin\frac C2})\]
灌一下水，

14# yes94

(57.28 KB)

2013-4-4 13:40

西哥的答案。

15# pxchg1200
很久没看到西西的活动了！

也就是说，当$x>a>0,y>b>0,z>c>0$时，是否成立如下不等式？
\[(x+y+z)(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z)\geqslant(a+b+c)(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)\]

17# yes94

$a\to0$