判断三角形形状$(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=\sin(A-B)/\sin(A+B)$

在 $\triangle ABC$ 中，若\[
\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (A + B)}
\]判断三角形形状。

问题转自某群。

化边化角均可。

大家随便玩玩。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

图图

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2^#

发表于 2011-10-4 14:13

呃，直角或等腰，化边做的，感觉化角好麻烦...

过程就不要了吧..

kuing

管理员

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3^#

发表于 2011-10-4 14:15

化角用网刊2中提到的“平方差公式”也挺简单

kuing

管理员

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4^#

发表于 2011-10-4 15:52

\begin{align*}
\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (A + B)}&\iff\frac{\sin^2A - \sin^2B}{\sin^2A + \sin^2B} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (A + B)} \\
&\iff \frac{\sin (A - B)\sin (A + B)}{\sin^2A + \sin^2B} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (A + B)} \\
&\iff \sin^2A + \sin^2B = \sin^2(A + B)  或  \sin (A - B) = 0 \\
&\iff \sin^2B = \sin^2(A + B) - \sin^2A  或  A = B \\
&\iff \sin^2B = \sin B\sin (A + B + A)  或  A = B \\
&\iff \sin B = \sin (2A + B)  或  A = B \\
&\iff B + 2A + B = \pi  或  A = B \\
&\iff A + B = \frac\pi2  或  A = B
\end{align*}

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