绝对值不等式的证明方法有哪些？

下面附上一道题第三问望大家求解

怎么没人解答呀！！

3# kuing


第2问没撒用

求通向先证an在函数的定义域内

噢，我看错了，以为第二问是求 an 的通项……

第二问的结论对第三问没用

嗯，但是an可以求出来，你可以试试
不知求出an对后面的证明有没有用

an怎么求呀

我估计用高中知识通项求不出来，一拿到绝对值不等式就不知该怎么下手！

\begin{align*}
1-a_{n+1}=\frac{(1-a_n)^2}{a_n^2+1},\\
a_{n+1}+1=\frac{(a_n+1)^2}{a_n^2+1},
\end{align*}
gives
\[\frac{1-a_{n+1}}{a_{n+1}+1}=\left(\frac{1-a_n}{a_n+1}\right)^2\]
gives
\[\frac{1-a_n}{a_n+1} = \left(\frac{1-a_1}{a_1+1}\right)^{2^{n-1}}\]
...

11# kuing


1怎么来的？ 不动点吗？

这个观察一下也看得出来了啊，分子跟分母不是刚好是完全平方的东西么……

PS。这类型的确属于特殊的不动点可解情形，一般的二次分式无解。

求第三问呀！

参考10年的联赛题

首先容易证明数列$\{a_{n}\}$满足：$\frac{1}{2}<a_{n}<a_{n+1}<1$
其次由于
\[
a_{k}=kA_{k}-(k-1)A_{k-1}
\]
所以
\begin{align}
&|\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\sum_{i=1}^{n}A_{i}| \\
=&|\sum_{i=1}^{n}(iA_{i}-(i-1)A_{i-1})-\sum_{i=1}^{n}A_{i}|  \\
=&|\sum_{i=1}^{n}(i-1)(A_{i}-A_{i-1})| \\
\end{align}
接下来对$A_{i}-A_{i-1}$作些估计：
\begin{align}
&A_{i}-A_{i-1} \\
=& \frac{\sum_{k=1}^{i}a_{k}}{i}-A_{i-1} \\
=&\frac{(i-1)A_{i-1}+a_{i}}{i}-A_{i-1} \\
=&\frac{a_{i}-A_{i-1}}{i}
\end{align}
显然$\frac{1}{2}<a_{i}<1$且$\frac{1}{2}<A_{i-1}<1$，所以$0<a_{i}-A_{i-1}<\frac{1}{2}$，从而
\begin{align}
0<A_{i}-A_{i-1}<\frac{1}{2i}
\end{align}
于是
\begin{align}
&|\sum_{i=1}^{n}(i-1)(A_{i}-A_{i-1})| \\
<&\sum_{i=1}^{n}\frac{i-1}{2i} \\
=&\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2i} \Big) \\
=&\frac{1}{2}n-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2i} \\
<&\frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \\
\end{align}
至此证毕，从证明过程中可以看到，该数列的递推式过于强烈，实际只用到了数列单调增加且以$\frac{1}{2}$为下界以1为上界。

一般这种估计有什么用

写完了，你看看吧

累死我了

写了30分钟肯定累了

还证到了更加强烈的不等式
\begin{align}
|\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\sum_{i=1}^{n}A_{i}|<\frac{1}{2}n-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2i}
\end{align}