用变量替换求极限

本帖最后由图图于 2011-10-4 11:46 编辑

用变量替换求
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$

kuing

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2^#

发表于 2011-10-4 14:04

呃，话说这个用 $\varepsilon$-$N$ 可以证了貌似
限方法我总是不会:sleepy:

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

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3^#

发表于 2011-10-4 14:27

本帖最后由图图于 2011-10-4 15:00 编辑

2# kuing

:o 应该叫$\varepsilon$-$\delta$语言吧

kuing

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4^#

发表于 2011-10-4 14:31

呃，都差不多吧。。。好像还是 $\varepsilon$-$X$ 。。。

e 的。。。how?

海盗船长

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5^#

发表于 2011-10-4 14:54

本帖最后由海盗船长于 2011-10-4 14:56 编辑

Let $n^{\frac{1}{n}}=1+a_{n}$ and it's obvious that $a_{n}>0$
we get $ n=(1+a_{n})^n>1+n a_{n}+\frac{n(n-1)}{2} a_{n}^2>\frac{n(n-1)}{2} a_{n}^2$
$\Longrightarrow a_{n}<\sqrt{\frac{2}{n-1}}$
$\Longrightarrow 0<a_{n}<\sqrt{\frac{2}{n-1}}$
Thus we have $\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}=1$

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6^#

发表于 2011-10-4 16:00

5# 海盗船长

这个我们书上还有一个夹逼的证法。

唔，你们用的应该是南大自己出的书吧？

海盗船长

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7^#

发表于 2011-10-5 15:24

6# 图图

哦，我们用的书是南大编的《高等数学》，但是讲得很粗略，所以自己借了一本数学分析看。

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