[函数] 来自pep的一道分式根号三角最大值

原贴地址：http://bbs.pep.com.cn/thread-2433321-1-1.html

求函数
\[f(x)=\frac{\sqrt{2}\sin x+\cos x}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}}\quad (0\leqslant x\leqslant \pi )\]
的最大值。

解：
\begin{align*}
f(x)&=\frac{\sqrt{2}\sin x+\cos x}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& \leqslant \frac{\sqrt{2}\sin x+\sqrt{\cos ^{2}x}}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& =\frac{\sqrt{2}\sin x+\sqrt{(1+\sin x)(1-\sin x)}}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& \leqslant \frac{\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2(1-\sin x)}}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& =\sqrt{2} ,
\end{align*}
当$x=\pi/2$时取等。

写完想链接过去，发现已经有类似解了，就免去了。

事实上也可以证明在 $[0,\pi/2]$ 递增，在 $[\pi/2,\pi]$ 递减，得最小值 $-1$。
当然，也可以
\begin{align*}
f(x)+1 &=\frac{\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)\sin x+\cos x+\sqrt{1-\sin x}}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& \geqslant \frac{\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)\sin x+\cos x+1-\sin x}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& =\frac{\sqrt{2}\sin x+\cos x+1}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}} \\
& \geqslant 0,
\end{align*}
当$x=\pi$取等。

另外，这个函数在 $x=\pi/2$ 处连续但不可导原因来自
\[\sqrt{1-\sin x}=\sqrt2\left|\sin\left(\frac x2-\frac\pi4\right)\right|\]

4# kuing
怎么理解连续但不可导？！

5# 李斌斌755


like |x| when x=0

6# kuing
谢谢kuing

问下中间那个根号下（1+sinx）（1-sinx）为什么小于等于2（1-sinx）啊？
柯西么？

…… sinx<=1 啊

突然发现了
那你是怎么想到的呢？
根据分母结构么？

一眼看下去只有分子有个cos，所以会考虑转化成sin就变成关于sinx的函数再看。而不难发现取最大值的时候 cosx 肯定是正的，所以我一开始就将其变成 $\sqrt{1-\sin^2x}$。变成这样后马上就发现只要再放缩一下就OK了。

这类题粗看好象不好处理，细想方法却很多的，以kuing的方法最速。学习

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2012-5-20 00:04

特别声明，这个不等式应该早就有的，比如学分数后，参加竞赛的同学...

13# realnumber


嗯，$a,b,c,d\in\mathbb{R}^+,a/b\leqslant c/d \implies a/b\leqslant (a+c)/(b+d)\leqslant c/d$ 不错。
点 (b,a) 和 (d,c) 在第一象限，后者与原点连结斜率较大，中间的是两者中点与原点连结斜率，故显然，也能推广系数，定比分点也。