举反例 $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$

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2012-4-11 20:43

举例说明由$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛不能得到$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx$收敛。

f(x)可不可以分段？

2# kuing


可以吧，只有满足那个收敛就行了吧

就是可以不连续咯？

\[\Large f(x)=\frac1{[x]\cdot(-1)^{[x]}}\quad x\geqslant 1\]

利用的就是 1-1/2+1/3-1/4+... 收敛而 1+1/2+1/3+1/4+... 不收敛

将上面的例子改成连续也是很容易的，只要将每一段直线两端拉向x轴连着，变成一个个等腰三角形，这样就连续了。
想要光滑也容易，也是拉，但是每一段都变成半个椭圆，这样连接起来就是光滑的，而每个椭圆的面积比没变，所以也符合反例。
但是椭圆情况的话连接处切线斜率垂直于x轴，算不上可导，而要在可导的话暂时还举不来。

6# kuing


懂了唉， 刚才跟侄女视频了，嘿嘿

6# kuing


我整理一下啊

8# 图图

你看能不能仿着整一个可导的简单的反例出来

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x$

$\int_0^{+\infty} \sin {x^2} \mathrm{d}x $

10# 海盗船长


这个绝对值的时候发散怎么证
昨晚一开始就考虑sinx/x，只是没证出来

10# 海盗船长


谢谢海盗

第一个知道了，平方的呢……

噢，好像也差不多，这样看来n次方也一样？

嗯，应该是的

11# kuing


绝对值发散很好证明啊。
由于 $ \frac{|\sin{x}|}{x}\geq \frac{\sin^{2}{x}}{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2x}=\frac{1}{2x}-\frac{\cos{2x}}{2x} $
第一部分是发散的，第二部分是收敛的。所以这个差是发散的。

16# pxchg1200


嗯，后来我也知道了，而且平方、n次方也类似，见上面回贴……

这就是一个简单的条件收敛和绝对收敛的问题撒
绝对收敛一定收敛，条件收敛不绝对收敛
数分书上的例子很多，做都要做吐了

18# 秋风树林


举多几个例子来瞧瞧

19# kuing

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2012-4-15 10:11

这些都是随着p,q取值范围不同而有不同类型的敛散性
当然，本身而言，由着Abel-Dirichlet判别法就可以很容易构造出各种类型的条件收敛积分。。。

__________kuing edit in $\LaTeX$__________
\begin{gather*}
\int_{1}^{+\infty}\frac{x^q\sin x}{1+x^p}dx,\\
\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{\sin x}\cos x}{x^p}dx,\\
\int_{0}^{+\infty}\frac1{x^p}\cos\frac1{x^2}dx,\\
\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin\bigl(x+\frac1x\bigr)}{x^p}dx,
\end{gather*}