求解一道极限课后习题的解析

计算极限$lim_{x\to\+infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x+\sqrt{x}})\sqrt{x}$

计算极限$lim_{x\to\+infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x+\sqrt{x}})\sqrt{x}$
fredjhon 发表于 2012-4-3 13:31

分子有理化有
\begin{align*}
  & \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x+\sqrt{x}} \\
={}&\frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-\left( x+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \\
={}&\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \\
={}&\frac{x+\sqrt{x}-x}{\left( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x+\sqrt{x}} \right)\left( \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)} \\
={}&\frac{\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x+\sqrt{x}} \right)\left( \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)},
\end{align*}
所以
\begin{align*}
  & \lim_{x\to +\infty }\left( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x+\sqrt{x}} \right)\sqrt{x} \\
={}&\lim_{x\to +\infty }\frac{x}{\left( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x+\sqrt{x}} \right)\left( \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)} \\
={}&\lim_{x\to +\infty }\frac{1}{\left( \sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}} \right)\left( \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1 \right)} \\
={}&\frac{1}{(1+1)(1+1)} \\
={}&\frac{1}{4}.
\end{align*}

和参考答案一样，我不明白的地方是分子，分母同除以X后，分母根号里的变化，大侠能详细解答下 吗？
    没办法我的高数基础实在是太差了！

分母除以x，分给两个括号，即两个括号里分别除以$\sqrt x$，然后放进里面，一层一层放就行了。
PS：这跟高数基础没什么关系，因为这属于基本的指数运算，不曾涉及高数内容。

演示一个，其余自己试试
\begin{align*}
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}&=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}} \\
& =\sqrt{1+\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x^{2}}}} \\
& =\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}}
\end{align*}

谢谢大侠，明白了