费解：整系数方程有理根的判定定理

定理：若形如$a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n=0$（其中$a_0，a_1，…，a_n$均为整数）的方程有有理根，则其有理根为有理数$\dfrac{p}{q}$（其中$p$为$a_n$的约数，$q$为$a_0$的约数，且$p，q$互质）。
证明：若方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n=0$（其中，$a_0，a_1，…，a_n$均为整数）其有理根$\dfrac{p}{q}$（$p，q$互质），则方程一定可分解为如下形式：
$(qx-p)(b_1x^{n-1}+…+b_{n-1}x+b_n)=0$（其中，$b_1，b_2，…，b_n$均为整数）
展开后得：$qb_1x^n+(qb_2-pb_1)x^{n-1}+…+(qb_n-pb_{n-1})x-pb_n=0$
与原方程比较系数，得：$a_0=qb_1，a_n=-pb_n$，因此，$p$为$a_n$的约数，$q$为$a_0$的约数（证毕）.
请教之处：$(qx-p)(b_1x^{n-1}+…+b_{n-1}x+b_n)=0$（其中，$b_1，b_2，…，b_n$均为整数?????）为什么$a_0=qb_1$为什么不是$a_0t=qb_1$?

1# syzychenwj


可以直接一点嘛

代入易得
\[a_nq^n+a_{n-1}q^{n-1}p+\cdots+a_1qp^{n-1}+a_0p^n=0\]

于是
\[p(a_{n-1}q^{n-1}+\cdots+a_1qp^{n-2}+a_0p^{n-1})=-a_nq^n\]
就有 $p|a_n$

类似可得  $q|a_0$

嗯，谢谢！那原证明可修复吗？