[几何] 翻旧贴看到的一道解析几何求轨迹

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题目：已知椭圆$x^2/4+y^2=1$，$N_1(-1,0)$，$N_2(1,0)$，$M(3,0)$，过$M$的直线交椭圆于$P$、$Q$两点，连$N_1P$，$N_2Q$，得交点$R$，求交点$R$的轨迹。

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2012-3-18 20:52

设$R(x,y)$，$QP:PM=t$，则由梅捏劳斯定理，有
\[1=\frac{N_{2}R}{RQ}\cdot \frac{QP}{PM}\cdot \frac{MN_{1}}{N_{1}N_{2}}=\frac{N_{2}R}{RQ}\cdot t\cdot 2,\]于是
\[\frac{QN_{2}}{RN_{2}}=1+\frac{RQ}{N_{2}R}=2t+1,\]从而易得
\[Q\bigl( (2t+1)(x-1)+1,(2t+1)y \bigr),\]再由$QP:PM=t$也易得
\[P\left( \frac{2t+1}{t+1}(x+1)-1,\frac{2t+1}{t+1}y \right),\]而$P$，$Q$在椭圆上，故将两点代入椭圆方程并去分母得
\[\left\{
\begin{aligned}
\left( (2t+1)(x+1)-(t+1) \right)^{2}+4\left( (2t+1)y \right)^{2}&=4(t+1)^{2},\\
\left( (2t+1)(x-1)+1 \right)^{2}+4\left( (2t+1)y \right)^{2}&=4,
\end{aligned}
\right.\]两式相减并因式分解得
\[3t\bigl( (2t+1)\cdot 2x-t \bigr)=4t(t+2),\]由于$t>0$，故约去$t$，再等价整理得
\[12x(2t+1)=7(2t+1)+9\implies 2t+1=\frac{9}{12x-7},\]代回去，即得
\[\left( \frac{9}{12x-7}(x-1)+1 \right)^{2}+4\left( \frac{9}{12x-7}y \right)^{2}=4,\]去分母化简，即得
\[45x^{2}-108y^{2}=20,\]此双曲线方程就是点$R$所在的曲线方程，但结合图形显然应只能取右支且在椭圆内部且应取掉顶点的部分（因$P$，$Q$为椭圆左右顶点时直线$N_1P$，$N_2Q$重合，无法确定交点$R$，故应舍去顶点），故易得最终的轨迹为\[45x^{2}-108y^{2}=20,x\in\left(\frac23,\frac43\right).\]

好久没试过用代数搞解几了，虽然前面还是用了一个纯平几定理，不过总的来说还是代数运算的多一些……
不知大家有没有简单点的算法？

这是什么软件可以算轨迹啊？

4# 海盗船长


我也不知道啊，图是我截取原贴里的图

用的软件应该是GeoGebra！