单位圆内随机取两点距离小于1/2的概率模拟

问题是前几天在某群里看到的，后来我分段积分计算出结果是
\[\frac{-9 \sqrt{15}+16 \pi +48 \arccos(7/8)}{64 \pi }\approx 0.197282185 \]
昨晚突然想到用 Mathematica 模拟一下，想到了如下

i = 0;
j = 0;
n = 1000000;
Do[x1 = RandomReal[{-1, 1}];
  y1 = RandomReal[{-1, 1}];
  x2 = RandomReal[{-1, 1}];
  y2 = RandomReal[{-1, 1}];
  If[x1^2 + y1^2 < 1 && x2^2 + y2^2 < 1, {
    j++;
    If[(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 < 1/4, i++];
    }], {n}];
N[i/j, 10]


其中，n 的值越大即投点越多，越精确，当然程序运行也越久，这里我用了 1000000，运行了几次，得到几个结果
0.1974656502
0.1969572882
0.1967015821
0.1973092282
0.1969999043
0.1978208284
0.1971865261
可以看到，跟我算出来的值还是很接近的。

由于不知如何给出单位圆内的随机点，这里我只好用 $[-1,1]^2$ 内的随机点，再进行筛选（将在圆内的筛选出来，在这些里面判断距离再筛选），而这样其实就浪费了很多对点，所以上面这个程序不算好，不知各位有没有更好更优质的程序？

呵呵，原来是你啊，又回到你这儿来了，呵呵。

你用得很熟练了！
有很多字符，编码不太容易找相应的代码，

1# kuing

这里有一篇圆内均匀采点的文章

1# kuing

这里有一篇圆内均匀采点的文章

http://blog.csdn.net/codeboycjy/article/details/6225886

5# chinawgp


先thanks了，有空仔细看下。

5# chinawgp


前面是弄懂了，原来只要加个根号就行了，我怎么没想到呢
后面的就不太懂了，那啥Jacobian行列式什么的……

关于单位圆内的随机点，你可以产生极坐标的嘛，随机产生半径和角度就可以了，然后 x=rcosa,y=rsina

关于单位圆内的随机点，你可以产生极坐标的嘛，随机产生半径和角度就可以了，然后 x=rcosa,y=rsina
都市侠影 发表于 2012-7-21 11:22

关键在于产生出来的是否均匀分布，可以看看5#的链接

9# kuing
那篇文章有道理

7# kuing
哈哈，我找到为什么加根号的原因了，看这里我写的，实际上是反函数http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-622-1-1.html