[不等式] 三元不等式 $\sum\frac{x+y}{xy(4-xy)}\geqslant2$

问题来自 http://zhidao.baidu.com/question/325781708.html 刚无聊上百度看到的。

已知 $x,y,z > 0,x + y + z = 3$，求证\[\frac{x + y}{xy(4 - xy)} + \frac{y + z}{yz(4 - yz)} + \frac{z + x}{zx(4 - zx)} \geqslant 2\]


大家玩玩。

PS：我用切平面成功，嘿，如下：
\[
\frac{x + y}{xy(4 - xy)} - \frac{8 - x - y}9 = \frac{\bigl(xy(4 - xy) + 9\bigr)\bigl(\sqrt x - \sqrt y \bigr)^2 + 2\sqrt{xy}\bigl(9 - xy + 2\sqrt{xy}\bigr)\bigl(\sqrt{xy} - 1\bigr)^2}{9xy(4 - xy)}\geqslant0
\]
下略……

回贴看看结果

回贴看看结果

还是看不到下半截（看不到分数的分母），刷新，一片空白，再刷新，网页显示：“……来路不正”，我晕！

只能说明您与本论坛“有缘无份”……表示帮不了你

看

6# yes94


说明问题说一次就够了，发100次截图也一样。

啊

放缩一下再用切线法及均值可能好接受一点。这个例子如果之前知道的话，选入《切线法》一文中的例题也挺不错的

由均值，可知只要证更强式\[
\frac{1}{\sqrt{xy}(4 - xy)} + \frac{1}{\sqrt{yz}(4 - yz)} + \frac{1}{\sqrt{zx}(4 - zx)} \geqslant 1
\]令 $a=\sqrt{xy}, b=\sqrt{yz}, c=\sqrt{zx}$，则由均值知 $0<a\leqslant \dfrac{x+y}2<\dfrac32$ 等以及 $a+b+c\leqslant x+y+z$，即有 $a,b,c\in\left(0,\dfrac32\right)$ 且 $a+b+c\leqslant 3$，而不等式等价于\[
\frac{1}{a(4 - a^2)} + \frac{1}{b(4 - b^2)} + \frac{1}{c(4 - c^2)} \geqslant 1
\]由 $a,b,c$ 的范围，利用切线法，容易得到\[
\frac{1}{a(4 - a^2)}\geqslant\frac{4-a}9\iff\frac{(a-1)^2(9+2a-a^2)}{9a(4-a^2)}\geqslant0
\]成立，故\begin{align*}
\frac{1}{a(4 - a^2)} + \frac{1}{b(4 - b^2)} + \frac{1}{c(4 - c^2)} &\geqslant \frac{4-a}9+\frac{4-b}9+\frac{4-c}9\\
&=\frac43-\frac{a+b+c}9\\
&\geqslant \frac43-\frac13\\
&=1
\end{align*}从而原不等式得证。

看结果

你怎么不回答百度上的提问呢？

11# 海盗船长


没有足够的被采纳的把握，就不发了。要保持采纳率

续楼上

.

我也来玩玩。
by AM-GM
\[ \sum{\frac{x+y}{xy(4-xy)}}\geq \sum{\frac{2}{\sqrt{xy}(4-xy)}}\geq 2 \]
\[ \sum\frac{1}{\sqrt{ab}(4-ab)}\ge 1 \]
by Cauchy-Schwarz
\[ \sum\frac{1}{\sqrt{ab}(4-ab)}\ge\frac{9}{4\sum\sqrt{ab}-\sum (ab)^{\frac{3}{2}}} \]
所以只要证：
\[ 9+\sum (ab)^{\frac{3}{2}}\ge 4\sum\sqrt{ab} \]
AM-GM again:
\[ \sum\left( (ab)^{\frac{3}{2}}+1+1\right)\ge 3\sum\sqrt{ab} \]
然后用个显然的结果
\[ 3(xy+xz+yz)\le (x+y+z)^{2}\le 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \]
\[ \sum\sqrt{ab}\le\sqrt{3\sum ab}\le\sum a=3 \]
Done!

15# pxchg1200


嗯，也是证9楼那个加强式，后面的柯西均值用得不错的，不过怎么x,y写着写着后面变成了a,b又变回去。。。
这个不等式还挺松。

事实上这个是土耳其2007的竞赛题，原题如下：
设$a,b,c \geq 0$,$a+b+c=3$,证明：
\[ \sum_{cyc}{\frac{a^{2}+3b^{2}}{ab^{2}(4-ab)}}\geq 4 \]

17# pxchg1200


:o
出处帝来鸟:D

事实上这个是土耳其2007的竞赛题，原题如下：
设$a,b,c \geq 0$,$a+b+c=3$,证明：
\[ \sum_{cyc}{\frac{a^{2}+3b^{2}}{ab^{2}(4-ab)}}\geq 4 \]
pxchg1200 发表于 2011-10-4 12:21

是不是分子用均值之后就跟前面的一样了

是不是分子用均值之后就跟前面的一样了
kuing 发表于 2011-10-4 12:38

是啊，一模一样