[不等式] 来自pep的正系数二次方程min、max

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原题：设正系数一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实根。证明：

      （1）$\max\{a,b,c\}\geqslant \dfrac49(a+b+c)$；   （2）$\min\{a,b,c\}\leqslant \dfrac14(a+b+c)$。



证明
（1）等价于 $a,b,c>0$ 且 $b^2\geqslant 4ac$ 时证 $9\max\{a,b,c\}\geqslant 4(a+b+c)$。

由于 $a, c$ 对称，不妨设 $a\geqslant c$，则 $\max\{a,b,c\}=\max\{a,b\}\geqslant c$，故
\begin{align*}
9\max\{a,b,c\}\geqslant 4(a+b+c) &\iff 9\max\{a,b\}\geqslant 4(\max\{a,b\}+\min\{a,b\}+c)\\
&\iff 5\max\{a,b\}\geqslant 4\min\{a,b\}+4c.
\end{align*}
如果 $a\geqslant b$，则
\[5\max\{a,b\}\geqslant 4a+\frac{ab}a\geqslant 4b+\frac{b^2}a\geqslant 4b+\frac{4ac}a=4\min\{a,b\}+4c,\]
此时不等式成立；

如果 $b>a$，当 $b\geqslant4c$ 时不等式显然成立，而当 $b<4c$ 时，我们有
\[5\max\{a,b\}-(4\min\{a,b\}+4c)=5b-\frac{4ac}c-4c\geqslant 5b-\frac{b^2}c-4c=\frac{(b-c)(4c-b)}c>0,\]
故此时不等式也成立。

综上知原不等式得证。

（2）等价于 $a,b,c>0$ 且 $b^2\geqslant 4ac$ 时证 $4\min\{a,b,c\}\leqslant a+b+c$。

由于 $a, c$ 对称，不妨设 $a\geqslant c$，假如 $b<c$，那么 $b<c\leqslant a \implies ac>b^2\geqslant4ac$ 矛盾，所以必定有 $b\geqslant c$，于是 $\min\{a,b,c\}=c$，故
\[4\min\{a,b,c\}\leqslant a+b+c \iff 3c\leqslant a+b,\]
这是显然的，
\[3c\leqslant a+\sqrt{4ac}\leqslant a+b,\]
故不等式成立。

1# kuing


精彩！
今天终于能正确显示公式了。

“正系数”的条件可以弱化，即有如下命题：

设 $a$, $b$, $c\in\mbb R$ 使得关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实根，则有
\begin{align}
\max\{a,b,c\}&\geqslant\frac49(a+b+c); \label{abcxfcmax49}\\
\min\{a,b,c\}&\leqslant\frac14(a+b+c). \label{abcxfcmin14}
\end{align}

当 $a>0$, $b>0$, $c>0$ 时1楼已证。

当 $a<0$, $b<0$, $c<0$ 时，注意到，若 $a$, $b$, $c$ 使方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实根，则 $-a$, $-b$, $-c$ 也能使其有实根，于是由正系数时结论成立可知此时也有
\begin{align*}
\max\{-a,-b,-c\}&\geqslant\frac49(-a-b-c),\\
\min\{-a,-b,-c\}&\leqslant\frac14(-a-b-c),
\end{align*}
再注意到有恒等式 $\max\{-a,-b,-c\}=-\min\{a,b,c\}$, $\min\{-a,-b,-c\}=-\max\{a,b,c\}$，代入上式即得
\begin{align*}
-\min\{a,b,c\}\geqslant\frac49(-a-b-c) &\riff \min\{a,b,c\}\leqslant\frac49(a+b+c)<\frac14(a+b+c),\\
-\max\{a,b,c\}\leqslant\frac14(-a-b-c) &\riff \max\{a,b,c\}\geqslant\frac14(a+b+c)>\frac49(a+b+c),
\end{align*}
所以此时式 \eqref{abcxfcmax49}、\eqref{abcxfcmin14} 都成立。

当 $a$, $b$, $c$ 中有非负也有非正时，比如说 $a\geqslant0\geqslant b$ 时，则有
\[\max\{a,b,c\}=\max\{a,c\}\geqslant0\geqslant\min\{b,c\}=\min\{a,b,c\},\]
故
\begin{align*}
\max\{a,b,c\}&\geqslant\frac89\max\{a,c\}\geqslant\frac49(a+c)\geqslant\frac49(a+b+c),\\
\min\{a,b,c\}&\leqslant\frac12\min\{b,c\}\leqslant\frac14(b+c)\leqslant\frac14(a+b+c),
\end{align*}
所以此时式 \eqref{abcxfcmax49}、\eqref{abcxfcmin14} 也都成立。当 $a\leqslant0\leqslant b$ 或其他情况都是同理的。

综上所述，命题得证。