[不等式] 简易三角函数不等式

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若 $\alpha ,\beta ,\gamma \in\left(0,\dfrac\pi2\right)$，则\[
\frac{\sin\alpha }{1+\sqrt{\sin\beta \sin\gamma }}
+\frac{\sin\beta   }{1+\sqrt{\sin\gamma\sin\alpha }}
+\frac{\sin\gamma  }{1+\sqrt{\sin\alpha\sin\beta  }}<2.
\]

solution 由 $\sin\alpha ,\sin\beta ,\sin\gamma \in(0,1)$，可知\[
\frac{\sin\alpha }{1+\sqrt{\sin\beta \sin\gamma }}<\frac{\sin\alpha }{\sin\alpha+\sqrt{\sin\beta \sin\gamma }}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{\sin\beta \sin\gamma }}{\sin\alpha }}
\]等三式，分别令 $x,y,z$ 为 $\dfrac{\sqrt{\sin\beta \sin\gamma }}{\sin\alpha }$ 等的轮换三式，即只要证更强式\[
\frac1{1+x}+\frac1{1+y}+\frac1{1+z}<2,
\]其中 $x,y,z>0,xyz=1$，此乃显然，皆因上式去分母整理即为\[
xy+yz+zx+1>0.\]

remark 右边 2 已是确界，皆因令 $\alpha\to0,\beta=\gamma\to\dfrac\pi2$ 可知原式 $\to2$。