$\{x\}$函数迭代

本帖最后由 $\TeX$ 于 2012-2-17 21:31 编辑

设$f(x)=\{10x\}\quad x\in [0,1)$（其中$\{t\}$代表取$t$的小数部分），$f_n(x)=f_{n-1}(x)，f_1(x)=f(x)$。
(1)求证：存在$x\in [0,1)$使得$f_n(x)$的闭包为$[0,1]$。
(2)满足(1)条件的$x$的个数怎样？（有限或无限），与其补集（全集为$[0,1)$）相比大小如何？
(3)证明：$F(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sin {f_i(x)}$几乎处处为零。