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1^#

发表于 2012-2-17 16:31

[几何] 一道立体几何最值问题,解答看不懂,555......

本帖最后由 scientist 于 2012-2-19 16:13 编辑

直线l垂直平面M,垂足为O,正四面体ABCD的棱长为4,C在平面M内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面M上的射影面积为多少？

请各位高手指教，想知道求解过程，谢谢！

本主题由 kuing 于 2013-1-19 19:49 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-2-17 17:50

设 O 到 AD 的距离为 h，记 BC 的中点为 N，AD 的中点为 Q，则
\[h\leqslant |QN|+|NO|=|QN|+\frac{|BC|}2\]
右边为定值，而取等时即 h 取最大值时，为当 O、N、Q 三点共线且 N 在 OQ 之间时。
然后就要计算此时的射影面积

不太想算……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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3^#

发表于 2012-2-17 18:04

哈哈，群里竟然也问，不会是同一个人吧？或者是同学？

QQ截图20120217180647.png (290.49 KB)

QQ截图20120217180647.png

kuing

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4^#

发表于 2012-2-17 18:07

忘记打码了，哎算了，洗个澡先

scientist

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5^#

发表于 2012-2-19 08:48

谢谢kuing !

scientist

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6^#

发表于 2012-2-19 16:13

2# kuing

请教kuing,为什么h<=|QN|+|NO|,能否将此题讲的详细点,不胜感激!

kuing

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7^#

发表于 2012-2-19 19:06

6# scientist

QQ截图20120219190250.png

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2012-2-19 19:06

后面算射影面积我没想到什么好的算法，没目测出来。

scientist

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8^#

发表于 2012-2-20 12:27

平面ABD与投影面的位置关系是什么？投影是三角形吗？我还是不清楚哦。麻烦kuing讲的再详细点，谢谢！无比感谢！

李斌斌755

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9^#

发表于 2012-2-26 05:33

本帖最后由李斌斌755 于 2013-4-29 02:27 编辑

不懂画图，说个思路。先考虑点$O$何时到$AB$距离最大，我们换个角度看定点$O$与动直线$BC$的空间关系，既定直线$BC$与动点$O$的空间关系，易知点$O$是以$BC$为直径的球面（空间为球面，平面为圆，$\angle BOC=90^\circ$）。可知$O$到$AD$的距离为四面体上以$BC$为直径的球面上的点到$AD$的距离。其最大距离等于$AD$到球心（既$BC$与$AD$的公垂线）+球半径$=\sqrt8+2$.再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到$AD\perp$平面$OBC$,$AD//$平面M，故其投影是以$AD$为底，$O$到$AD$的投影距离（$=(\sqrt8+2)\cos45^\circ=2+\sqrt2$）为高的等腰三角形，其面积$=\dfrac{4(\sqrt2+2)}2=4+2\sqrt2$。

VY2JZW1E93B3Q`LDN@}O6OG.jpg (81.49 KB)

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