极限证明。

两个极限问题。一直想有一个确切的证明。
Q1： 证明:
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{a^x}=0  (a>1)\]
Q2: 证明:
\[\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x=1\]

PS:这两个式子是相关联的。不过我希望能从不同的角度来证明它。

呃，怎么都是 $k\to\ldots$ ？
用了行间公式（即用 \ [ 和 \ ] 的那种）就不用加 \displaystyle 了。

说正题：
Q1 用$n$次洛必达
Q2 极限好像是1啊

第一题n次方只是个幌子。。。
其实和证明x/(a^x)的极限为0没什么区别
而这个极限可以进一步退化为数列极限，一个高斯+夹逼就可以搞定
这个数列从某项开始显然递减有下界。。。。

我比较懒所以喜欢洛…… 第二个也可以略，对数恒等式先再……
第二题楼上有什么简单方法么

我比较懒所以喜欢洛……
第二题楼上有什么简单方法么
kuing 发表于 2012-2-17 18:12

化为e^(xlnx)再对指数部分洛吧。。。

刚编辑完回贴，看来你引用得比我编辑快嘛

刚编辑完回贴，看来你引用得比我编辑快嘛
kuing 发表于 2012-2-17 18:14

换元你看如何，令 x=1/t，最后要弄 $\sqrt[t]t$，这个好像在正整数的时候搞过……

换元你看如何，令 x=1/t，最后要弄 $\sqrt[t]t$，这个好像在正整数的时候搞过……
kuing 发表于 2012-2-17 18:19

嗯嗯，确实弄过

不过这里是实数……

不过这里是实数……
kuing 发表于 2012-2-17 18:23

可以试试高斯取整和夹逼。。。

11# 秋风树林


唔，还有单调性……
应该不成问题