只在一点可导的函数

试构造函数$f(x)$，使得$f(x)$在$x=0$处可导，而在其他任意点都不连续。

$f(x)=x\cdot g(x)$ 其中 $g(x)=\begin{cases}0,& x\in\mathbb{Q},\\ 1,& x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}.\end{cases}$ 行不行……

好像在$x=0$处不可导吧
改成$f(x)=x^2g(x)$就可以了

3# 海盗船长


噢，没错，刚想漏了点东西。
这么看来，是不是 $x^n,n=2,3,\ldots$ 都行？甚至换成只要是 $h(0)=h'(0)=0$ 且其余地方不恒为 0 的连续函数均可？

4# kuing


不恒为零？恒不为零？ 有要求“只在”一点可微，其他点要保证不可微

其实给出的那个是典型例子，也说明了函数在一点可微，只保证在这一点连续，不保证在该点的某一领域内连续。

有例子存在即可，把表达式改的复杂点意义不大，可以考虑其他问题，比如在无理点可微而在有理点不可微的连续函数

还有，可以参照，如果g(x)是一个处处连续但处处不可微的函数，则xg(x)就是只在一点可微的连续函数

噢，应该是恒不为0，零点那就连续了