[数列] 数列题，来自超级群$a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n-1$

已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=3$，$a_4=4$，$a_5=5$，且当 $n\geqslant5$ 时，$a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n-1$，若数列 $\{b_n\}$ 满足对任意 $n\in\mathbb{N}^+$，有 $b_n=a_1a_2\cdots a_n-a_1^2-a_2^2-\cdots-a_n^2$，则当 $n\geqslant5$ 时 $b_n=?$


solution 当 $n=5$ 时，$b_5=5!-1^2-2^2-3^2-4^2-5^2=65$；
当 $n\geqslant6$ 时，我们直接计算 $a_6$，为 $a_6=5! - 1 = 119$，并且由递推式，我们有\[
a_{n + 1} + 1 = a_1 a_2 \cdots a_n = a_n (a_1 a_2 \cdots a_{n - 1} ) = a_n (a_n + 1)
\]从而得到\[
a_n^2 = a_{n + 1} - a_n + 1
\]由此，我们有\begin{align*}
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + a_5^2 + a_7 - a_6 + 1 + a_8 - a_7 + 1 + \cdots + a_{n + 1} - a_n + 1 \\
&= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + a_{n + 1} - a_6 + n - 6 + 1 \\
&= a_{n + 1} + n - 69
\end{align*}所以\[
b_n = a_1 a_2 \cdots a_n - a_1^2 - a_2^2 - \cdots - a_n^2 = a_{n + 1} + 1 - (a_{n + 1} + n - 69) = 70 - n
\]又当 $n=5$ 时也适合上式，所以当 $n\geqslant5$ 时 $\{b_n\}$ 的通项为\[
b_n = 70 - n
\]
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写成分式形式，"由此，我们有……" 这一部分多余了吧，条件里直接有

2# ①②③④⑤⑥⑦


嗯，纯粹多余。。。。

删掉了

同一个数列，可以有不同的递推公式