[数列] 不动点求通项，复数特征根照样可行$a_{n+1}=(1+a_n)/(1-a_n)$

问题转自 http://ask.maths168.com/?q-57.html


数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n}{1-a_n}$，则 $\{a_n\}$ 的通项如何？

利用不动点法，$x=\dfrac{1+x}{1-x}$ 的两根为 $\pm i$，尽管为虚数，照板煮碗，得到
\[\frac{a_{n+1}-i}{a_{n+1}+i}=i\cdot\frac{a_n-i}{a_n+i}\]
故
\[\frac{a_n-i}{a_n+i}=i^{n-1}\cdot\frac{2-i}{2+i}\]
解出 $a_n$ 并整理得
\[a_n=\frac{(2-i)i^n+2i-1}{2+i+(2i+1)i^n}\]
由此已经可以看出 4 是 $a_n$ 的周期，分别代入 $n=1,2,3,4$ 也可得到不同的实数，所以尽管有虚数，但同样无碍表示通项。
进一步，对上式分母实数化，再用三角化简，还可以将复数消去，得到
\[a_n=\frac{10\cos\frac{n\pi}{4}}{3\cos\frac{n\pi}{4}-\sin\frac{n\pi}{4}}-3\]

$a_n=\tan(\theta+\dfrac{(n-1)\pi}{4})$，其中$\tan\theta=2$。
由此看出，这个关于正切函数的周期$T=\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{4}}=4$。