[数列] 请教与数列结合的概率题

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2012-2-2 18:02

___________kuing edit in $\LaTeX$___________
四楼的正确题目如下：
以掷硬币的结果，决定数轴上两点$A$，$B$的移动情况。
出现正面者：若点$A$的坐标比点$B$的坐标大时，$A$，$B$共同沿正方向移1；不然，$A$向正方向移1。
出现反面者：若点$B$的坐标比点$A$的坐标大时，$A$，$B$共同沿正方向移1；不然，$B$向正方向移1。
最初，$A$，$B$两点均在原点，上述掷币操作$n$次后，$A$，$B$到达点的坐标分别是$a$，$b$。
（1）硬币投掷$n$次，正、反面出现的总情况数为$2^n$，把$a=b$的情况记为$X_n$，试写出$X_n$与$X_{n+1}$之间的关系式；
（2）求$X_n$的表达式；
（3）硬币投掷$n$次后，正、反面出现的总情况数为$2^n$，求$a$的期望值。

1# wenshengli


这道题有点问题

出正面：若A的坐标比B大，两者同时向正方向移动，间距不变，若B的坐标不小于A，B向正方向移动，两者间距增加1
出反面：若B的坐标比A大，两者间距不变，不然，两者间距增加1

除了最开始同在原点，之后再也不会重合的，中间有哪些字抄错了吧

说反了吧

谢谢，2楼和3楼，两个字母打反了，重新发一个。

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2012-2-3 17:15

还是从间距分析，只有以下三种情况
1. 间距不变
2. 落后者向领先者靠近一步
3. 两者在同一位置，其中某一个向前跨一步


我们从A,B在同一位置开始

第一次抛硬币，其中某一个领先一步，此时再抛，如果和之前的是同一面，那么间距不变，如果抛出的结果和最初的不同，两者就再次抵达同一位置。

$X_n$ 到底是什么，抛 $n$ 次后恰好重合的情况数？我想应该是的吧。

抛了n次以后，要么重合，要么有一个领先另一个一步，如果重合，那么抛第 $n+1$ 次后一定不会重合，如果不重合，那么要求下一次抛出和第 $n$ 次的结果不同，两者就能重合，不然就不重合。所以 $X_{n+1}=2^n-X_n$。

显然 $X_1=0$。

$X_n=\dfrac{2^n}3+(-1)^n\dfrac23$


下面记 $P_n$ 为抛硬币 $n$ 次，所有 $2^n$ 种结果下 $a$ 值的总和，要求的数学期望就是 $\dfrac{P_n}{2^n}$。

我们还是建立递推式，抛了 $n$ 次后，要么重合，要么A领先B一步，要么B领先A一步，且后面两种情况的数量相等（对换序列中的正反面建立一一对应，具体不扯了）

1) $X_n$ 种情况，AB重合，第 $n+1$ 次要抛出正面，$a$ 值增加一，抛出反面 $a$ 值不变。
2) $2^{n-1}-\dfrac{X_n}2$ 种情况，A领先B，若第 $n+1$ 次要抛出正面，$a$ 值增加一，抛出反面 $a$ 值不变。
3) $2^{n-1}-\dfrac{X_n}2$ 种情况，B领先A，此时无论抛出正面还是反面，$a$ 值都会增加一。

也就是说：
$P_{n+1}=2P_n+X_n+2^{n-1}-\dfrac{X_n}2+2\left(2^{n-1}-\dfrac{X_n}2\right)=2P_n+2^{n-1}+2^n-\dfrac{X_n}2$
$=2P_n+2^{n-1}+2^n-\dfrac{2^{n-1}}3-(-1)^n\dfrac13=2P_n+\dfrac43\cdot 2^n-(-1)^n\dfrac13$
又有 $P(1)=1$
于是可以得到 $P(n)=\dfrac{2^n}9\left(6n-1+\left(-\dfrac12\right)^n\right)$

所求的数学期望为 $\dfrac19\left(6n-1+\left(-\dfrac12\right)^n\right)$

5# ①②③④⑤⑥⑦
非常感谢！