一个很有意思的数学兼哲学问题，请高手解释下

在无限大的范围内，究竟是正整数多还是完全平方数多？====================肯定很多人说是正整数多。理由如下：正整数集合包含完全平方数集合且比他大，所以正整数比完全平方数多。但是有一种诡辩的论证证明两者一样多：因为在无限的范围内，一个正整数永远可以对应一个完全平方数，所以两者是一样多的。这种说法乍一看很有道理。到底哪个对！！！！！

康托尔笑了

集合势

我们怎么比较数量的多少？

可以用“对应”，找一个单射，一个对应一个，哪一方有多出来的无法对应的，那就是数量多。如果整体和其中的一部分相比，可以用最自然的和自身对应的方式，这样有了“整体大于部分”，当然还可以发展出更多的方法，如果不涉及无限，无论怎样更换单射的方式，结果不变，多的总是多，少的总是少。

但是一旦涉及到了无限之间的比较，会发现这些规律不是这么好使，自然数和全体平方数比较，当然可以用自然的和自身对应，全体平方数是自然数的一部分，但是我们并不只有这一种对应方式，比如说 $f(n)=n^2$，这就形成了一一对应，表示两者一样多？我们还能这样： $f(n)=4n^2$，这下好，自然数集和平方数集的一个真子集建立一一对应了，那么平方数比自然数更多？

有这些例子，使我们明白了，原来的这些比较的方法不能简单的推广到无限的情形，解决方法无非是：1) 不比较，所有无限都一样。 2) 抛弃某些规则，并尽量采用兼容于有限的比较的法则。

放弃是很容易的，原有规则不成立，我们索性就不要比了，比如复数我们就不谈比较大小。但如果确实有用的话，还是会做些努力的，当然要有用，Cantor就做了这么件事情，尝试对无限进行分类，集合论的产生本来就是想要理清无限之间的关系，当然，同样能适用于有限的情形。没有采用“整体大于部分”，因为这很不好用，如果保留这条而抛弃一一对应的办法，不存在包含关系的就比较不起来，这么做是没有实用性的，数学家们当然不会这么干。他们保留了一一对应的方法，当然，严格来说是定义了集合的势这个新的名词，是可以互相比较，两个集合间只要存在一种一一对应的方法，就说是“等势”的，这种方法兼容有限集之间的比较，对于无限集，也有了一些办法，并且有了很多实际应用，得到了很多好的成果。所以现在，都是采用这些方法。现在把这些再拿出来，不能称之为诡辩什么的了，已经有了统一的规则了。

当然，事情远没有那么简单，建立的集合论，是有缺陷的，比如著名的罗素悖论。朴素集合论过渡到公理集合论，哪些可以作为公理？就像欧氏几何的平行公理会遭人怀疑一样，集合论里面的选择公理，也会令某些人不爽，而这又关系到势的三歧性，也就是我们要比较两个集合的势（通俗地讲，比较两者的多少），除了|A|=|B|，|A|<|B|（从A集合能构造到B的子集的一一对应，但不可能构造到B本身的一一对应，B也不能和A的任何子集建立一一对应），|A|>|B|外，会不会有第四种可能，也就是A、B之间无法建立任何一个一一对应，同时，A可以和B的某个子集一一对应，B也可以和A的某个子集一一对应。选择公理是“构造主义”所极其不喜欢的，因为承认它，就得接受有那种宣告存在但是无论如何都无法精确构造出来的对象，当然，作为构造主义的一类的“直觉主义”更不会喜欢它，因为他们不承认无穷对象的存在。

选择公理这些东西，才真正是数学、逻辑学、哲学的交汇处，事实上有时不用管什么“主义”，对我们构造出来的抽象世界，到底需要哪些规则，各人自然可以有不同的看法，存在性、合理性也都是人为认定的，最终关注的无非是方便、有用、无矛盾（在这片抽象世界中大多数人不能接受的事物）。你可以不接受平行公理，但也不是直接抛弃就完事的，不接受，就要允许各种更复杂的几何的存在，研究更麻烦的问题。同时，在实际应用中，可能在某些时候还是用的欧式几何，当然，使用者可以说这只是近似而图方便什么的（数学家不会那么小气的，合适的地方使用合适的理论）

讲的这么深奥