[数列] 不动点

在求一阶递推数列时有一种方法叫不动点法，我想问下为什么这种不动点法可用于求数列通项，它的根源是什么？

我举一个2阶齐次线性递推的例子，

\[{a_{n + 2}} = p{a_{n + 1}} + q{a_n}\]

由于这个递推是一个线性齐次的递推，所以递推关系可以写成如下的矩阵形式：\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a_{n + 1}}} \\
  {{a_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  p&q \\
  1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a_n}} \\
  {{a_{n - 1}}}
\end{array}} \right]\]

我们记${X_{n + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a_{n + 1}}} \\
  {{a_n}}
\end{array}} \right]$，$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  p&q \\
  1&0
\end{array}} \right]$

那么整个问题就和等比数列 ${X_{n + 1}} = A{X_n}$ 没什么区别了 ，只是我们的公比变成了一个矩阵。

于是，问题变成了求矩阵的幂次，这个问题在线性代数中利用特征值和特征向量会得到解决。