讨论数列敛散性

设 \(\lambda>-4\) , \(\displaystyle x_1=\frac{\lambda}{2},x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}+x_1\) 讨论\(\{x_n\}\)的敛散性.

画图目测是 x1<=1/2 即可，收敛到 1-sqrt(1-2x1)

2# icesheep
不对,\(\lambda\le 1\)时也有发散的情形.

又画了个图。。目测 f(x1)>x'' 时，发散，其中 f(x)=x^2/2+x1 ， x'' 为 f(x)=x 的较大根。嗯夹在当中的都收敛。。。

$\lambda<0$时应该是以$\lambda=-3$为分界

但是$\lambda<0$时我只证明到了$\lambda>-2$时收敛

5# 海盗船长
对,以这个为界

擦，怎么我看图都是收敛的呢？ 啊难道x>-1.5 会一直打圈。。。

(117.48 KB)

2012-1-22 11:17

看到一个很有意思的，和这个很类似！

ThreeViewsOfTheLogisticMap-sourcecode.rar (7.17 KB)

下载次数: 0

2012-1-22 18:15

http://demonstrations.wolfram.com/ThreeViewsOfTheLogisticMap/

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

不会证明，求解答。

10# 海盗船长
提示
当 \(\lambda\le 0\) 时
\[\frac{\lambda}{2}\le x_{2k-1}\le 1-\sqrt{1-\lambda}\le x_{2k}\le 0\]
然后再 \(\lambda\ge -3\) 时 , 考虑 \(x_{2k+2}-x_{2k}\) 化成 \(x_{2k}\) 的四次方程 , 这里将会因为 \(\lambda\ge -3\) 导致\(x_{2k}\)的单调性,同样处理奇数项.
对 \(\lambda <-3\) 时 , 我用的反证法 , 假设收敛.

方法很蛋疼 , 不知道有没好解法 .

11# Nirvanacs


反证法然后用柯西准则吗？

$\lambda<0$时做代换：$\displaystyle y_n= \frac{1}{2} - \frac{x_n}{2(1+\sqrt{1-\lambda})}$
得到 $\displaystyle y_n=(1+\sqrt{1-\lambda})y_n(1-y_n) \qquad y_0=\frac{1+\sqrt{1-\lambda}}{4}$
是一个 Logistic Map