学生-废名(3806*****)
在实数范围内解方程
\[\frac{11x^2-6}{7-12x^2}=\sqrt{\frac{7x+6}{12x+11}}.\]
（提问者注：两个反函数，解在$y=x$上，然后就变成三次方程了……）
解
首先对这个注明说一下，互为反函数的两函数图象的交点可不一定全在$y=x$上，故此按这样解下去有可能漏解。
事实上，用最原始的方法，两边平方后作差再分解就可以了，不过在因式分解的时候，倒是可以利用一下上面说的这一特点去观察分解。
具体地，我们先两边平方，有
\[\left(\frac{11x^2-6}{7-12x^2}\right)^2=\frac{7x+6}{12x+11},（*）\]
通过各项系数的规律，容易观察到当$x=-1$时两边都是$1$，所以$x+1$是式（*）左右作差后的因式，但剩下的次数还是很高，故此要再从别的方向考虑一下。
根据前面说的，在$y=x$上可能有解，所以我们考虑方程
\[\frac{7x+6}{12x+11}=x^2,\]
同样看到当$x=-1$时两边都是$1$，于是我们对上式作差就可以提出$x+1$得到
\[\frac{7x+6}{12x+11}-x^2=-\frac{(x+1)(12x^2-x-6)}{12x+11},\]
由十字相乘可以看出$12x^2-x-6=(4x-3)(3x+2)$，于是我们再考虑$x=3/4$和$x=-2/3$时式（*）如何，通过代入发现都是其根，从而式（*）左右作差亦有因式$4x-3$及$3x+2$，这样，我们就不难将式（*）化为
\[\left(\frac{11x^2-6}{7-12x^2}\right)^2-\frac{7x+6}{12x+11}=
\frac{(x+1)(4x-3)(3x+2)(37x^2+5x-17)}{(12x+11)(12x^2-7)^2}=0,\]
解得
\[x_1=-1,x_2=\frac34,x_3=-\frac23,x_4=\frac{-5+11\sqrt{21}}{74},x_5=\frac{-5-11\sqrt{21}}{74},\]
再通过原方程对$x$的限制$(7x+6)/(12x+1)\geqslant0$且$(11x^2-6)/(7-12x^2)\geqslant0$，不难比较出只有$x_2$和$x_5$是符合的，所以原方程的解为
\[x_2=\frac34,x_5=\frac{-5-11\sqrt{21}}{74}.\]
此最终结果正好说明前面的判断，如果只考虑在$y=x$上的解，那么将会漏掉$x_5$。
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发表于 2012-1-17 19:06
发表于 2012-1-18 18:24
