f(x)可导$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a$

已知 $f(x)$ 在 $\mathbf R$ 上可导，且 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a$，求证存在 $\xi\in\mathbf R$ 使 $f'(\xi)=0$。

最怕这些看着显然但又不知怎么说明的题哩…………


只想到下面这个比较麻烦的办法：

考虑 $f(0)$ 与 $a$ 的大小关系：
由上下对称性，只要证明当 $f(0)\geqslant a$ 时命题成立即可（这是因为若 $f(0)\leqslant a$，令 $g(x)=2a-f(x)$，则仍有 $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=a$，而且 $g(0)\geqslant a$）。

考虑 $f'(0)$ 与 $0$ 的大小关系：
如果 $f'(0)=0$，命题已经成立，当 $f'(0)\ne0$ 时，由左右对称性，只要证明当 $f'(0)>0$ 时命题成立即可（这是因为若 $f'(0)<0$，令 $h(x)=-f(x)$，则仍有 $\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=a$，而且 $h'(0)>0$）。

综合两点，即只要证明当 $f(0)\geqslant a$ 且 $f'(0)>0$ 时命题成立即可。

此时存在 $b>0$ 使 $f(b)>f(0)$，故存在 $c\in(0,b)$ 使 $f(b)>f(c)>f(0)$。
由 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ 知，对于正数 $f(c)-a$，存在 $X>0$ 使当 $x>X$ 时有 $|f(x)-a|<f(c)-a$，在 $(X,+\infty)$ 内总能找到一点 $d>b$，则 $f(c)-a>|f(d)-a|\geqslant f(d)-a \implies f(c)>f(d)$，得 $f(b)>f(c)>f(d)$，故存在 $h\in(b,d)$ 使 $f(h)=f(c)$，而 $h>b>c$ 故存在 $\xi\in(c,h)$ 使 $f'(\xi)=0$，命题成立。

求简洁……

(38.23 KB)

2012-1-15 16:34

先这么写着试试。。。有些还是感觉怪怪的

大概懂了

大概懂了
kuing 发表于 2012-1-15 16:36

不过还是有点小小的问题
倒数第三行那个不等式跟a的正负性多少会牵扯到一点关系
但是应该可以通过类似的讨论解决
不过直观的讲，因为无穷的极限是a
不是常数函数一定可以用一个领域将x0以后的所有对应函数值给覆盖住
从而上确界或下确界就在这闭区间了
然后Fermat之～

嗯，正想问下那里咋的
当然，如果学我上面那个用对称性什么的搞，或许能去掉一些正负讨论

去后面掉绝对值就行了，也不用什么保序了
\[
\frac{M-a}2>|f(x)-a|\geqslant f(x)-a \implies f(x)<\frac{M+a}2<M
\]

证明存在不同的两个数$x_1,x_2 \in \mathbf{R}$使得$f(x_1)=f(x_2)$就行了。

呃，其实我也就是为了证明这一点所以才扯出这么多东东……
有简单的办法就写写吧

我错了，回帖之前没看贴，，，

其实蛮好想的,导函数介值,所以不存在的话,必然单调,然后两边极限相同,容易导出矛盾

12# Nirvanacs

崩溃？

13# kuing


是的

14# Nirvanacs

又是你，还是你，嘿嘿

用罗尔中值定理一下子就证明出来了吧。