数列收敛

已知$x_1>0,x_2>0$，$x_{n+2}=\dfrac{2}{x_{n+1}+x_{n}}$
求证：数列$\{x_n\}$收敛。

贴吧那个网友的做法我实在不喜欢。。。有空再想想。。。

在哪？

http://tieba.baidu.com/p/1362751658

4# icesheep

找到一个简单的：http://tieba.baidu.com/p/1359456568
不过不是很懂。。

oh
都看不懂

5# 海盗船长


四元数的做法不对吧，最后导不出矛盾啊。

另，我想了一下，如果选出了子列 \[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {x_n}\]

则一定有 \[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf {x_n}\]

7# icesheep

哦，你的结论是怎么得到的？

7# icesheep

四元数的意思是不是选取适当的e让
a_{n+2}>2/(a+A+2e)>2/(2A-2e)>a+e
或
a_{n+2}<2/(a+A-2e)<2/(2a+2e)<A-e
成立从而导出矛盾？

“那么对于任意e>0,必然存在充分大的N,使得n>N时均有 a-e<a_n<a+e,A+e>a_{n+1}>A-e”

这个不懂怎么得到的

不妨设 ${x_{{n_k} + 2}} \to \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {x_n} = A$
\[\left( {\forall {\varepsilon _1} > 0} \right)\left( {\exists {N_1} > 0} \right)\left( {{n_k} > {N_1} \Rightarrow A - {\varepsilon _1} < {x_{{n_k} + 2}} < A + {\varepsilon _1}} \right)\]
又 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf {x_n} = a$
\[\left( {\forall {\varepsilon _2} > 0} \right)\left( {\exists {N_2} > 0} \right)\left( {{n_k} > {N_2} \Rightarrow {x_{{n_k}}} > a - {\varepsilon _2}} \right)\]
于是 ${{x_{{n_k}}} > a - {\varepsilon _2}}$，${{x_{{n_k} + 1}} > a - {\varepsilon _2}}$ 且 ${x_{{n_k}}} + {x_{{n_k} + 1}} < \frac{2}{{A - {\varepsilon _1}}} = 2a + \varepsilon '$
易得 $a - {\varepsilon _2} < {x_{{n_k}}} < a + \varepsilon ' + {\varepsilon _2}$ ， $a - {\varepsilon _2} < {x_{{n_k} + 1}} < a + \varepsilon ' + {\varepsilon _2}$
由 ${\varepsilon _2}$ 和 $\varepsilon '$ 的任意性，易得 \[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k} + 1}} = a\]

哦，懂了

终于看懂了嘉威不哭的，，，

找到一个简单方法：
考虑映射$F:(0,\infty)\times(0,\infty)\to(0,\infty)\times(0,\infty)$且$F(x,y)=\left(\frac{2}{x+y},x\right)$,则$F(x_{n-1},x_{n-2})=(x_n,x_{n-1})$,且该映射的唯一不动点是$(1,1)$.
构造函数$g(x,y)=\max\left(x,\frac{1}{x},y,\frac{1}{y}\right)$,则有$g(F(x,y))\le g(x,y)$当且仅当$(x,y)=(1,1)$取等号.故数列$g(F(x_{n+1},x_{n}))$单调递减有下界,因而收敛.
在递推式两边取极限就得到$\lim_{n\to \infty}x_n=1$.

参考：http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=67&t=488994