求证存在$f(\xi)+f'(\xi)=0$

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2012-1-7 22:30

设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且
\[f(1)=2\int_{0}^{\frac12}e^{x-1}f(x)dx,\]
证明至少存在一点$\xi\in(0,1)$使得$f'(\xi)+f(\xi)=0$。

$ef(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} e^x f(x) \mathrm{d} x$
由积分中值定理得存在$\xi' \in (0,\frac{1}{2}) $使得
$e f(1)=e^{\xi'} f(\xi') $
设$g(x)=e^x f(x)$
由罗尔中值定理知存在$\xi \in (\xi',1) $使得
$f(\xi)+f'(\xi)=0$

秒得好快

其实貌似换成$$f(1)=n\int_{0}^{\frac{1}{n}}e^{x-1}f(x)dx$$都行
令$$g(x)=e^{x-1}f(x)$$
则$$n\int_{0}^{\frac{1}{n}}e^{x-1}f(x)dx=n\int_{0}^{\frac{1}{n}}g(x)dx$$
$$=\int_{0}^{1}g(\frac{x}{n})dx$$
由积分中值定理知必然存在$$\xi\in(0,1)$$，使得$$g(\frac{\xi}{n})=\int_{0}^{1}g(\frac{x}{n})dx$$
那么显然$$\frac{\xi}{n}\in(0,\frac{1}{n})$$，且有$$g(\frac{\xi}{n})=g(1)$$
由罗尔定理得存在$$\xi'\in(\frac{\xi}{n},1)$$使得$$g'(x)=e^{x-1}(f'(x)+f(x))=0$$

战巡的也OK

公式输入的PS：大公式需要显示在中间的用两个美元，小的公式，比如 \xi\in(0,1) 这种小东东在行内的就用一个美元可以了
再PS一个：后面写 $g'(\xi')=e^{x-1}(f'(\xi')+f(\xi'))=0$ 比较好